Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7590 / 4232
↖ ↑ ↗
← N 65.293468°
W 13.227539°		 ← 1 021.22 m → N 65.293468°
W 13.205566°		 →
↑
1 021.34 m
↓
↑
1 021.34 m
↓
N 65.284283°
W 13.227539°		 ← 1 021.57 m →
1 043 188 m²		 N 65.284283°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463287353515625 y=0.258331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463287353515625 × 214)
    floor (0.463287353515625 × 16384)
    floor (7590.5)     		tx = 7590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258331298828125 × 214)
    floor (0.258331298828125 × 16384)
    floor (4232.5)     		ty = 4232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7590 / 4232 ti = "14/7590/4232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7590/4232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7590 ÷ 214
    7590 ÷ 16384     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4232 ÷ 214
    4232 ÷ 16384     		y = 0.25830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25830078125 × 2 - 1) × π
    0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51864097996338))-π/2
    2×atan(4.56601566988036)-π/2
    2×1.35519115997521-π/2
    2.71038231995043-1.57079632675     		φ = 1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7590 KachelY 4232 -0.23086411 1.13958599 -13.227539 65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 7591 KachelY 4232 -0.23048061 1.13958599 -13.205566 65.293468
    Unten links KachelX 7590 KachelY + 1 4233 -0.23086411 1.13942568 -13.227539 65.284283
    Unten rechts KachelX + 1 7591 KachelY + 1 4233 -0.23048061 1.13942568 -13.205566 65.284283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13958599-1.13942568) × R
    0.000160310000000052 × 6371000     		dl = 1021.33501000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13958599-1.13942568) × R
    0.000160310000000052 × 6371000     		dr = 1021.33501000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(1.13958599) × R
    0.000383500000000009 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 1021.21870647174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(1.13942568) × R
    0.000383500000000009 × 0.418116281448753 × 6371000     		du = 1021.57452096371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13958599)-sin(1.13942568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.418116281448753)×R²
    abs(-0.23048061--0.23086411)×0.000145629936156522×R²
    0.000383500000000009×0.000145629936156522×6371000²
    0.000383500000000009×0.000145629936156522×40589641000000     		ar = 1043188.12291927m²