Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7590 / 4078
↖ ↑ ↗
← N 66.670387°
W 13.227539°		 ← 967.59 m → N 66.670387°
W 13.205566°		 →
↑
967.75 m
↓
↑
967.75 m
↓
N 66.661683°
W 13.227539°		 ← 967.93 m →
936 552 m²		 N 66.661683°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463287353515625 y=0.248931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463287353515625 × 214)
    floor (0.463287353515625 × 16384)
    floor (7590.5)     		tx = 7590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248931884765625 × 214)
    floor (0.248931884765625 × 16384)
    floor (4078.5)     		ty = 4078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7590 / 4078 ti = "14/7590/4078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7590/4078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7590 ÷ 214
    7590 ÷ 16384     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4078 ÷ 214
    4078 ÷ 16384     		y = 0.2489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2489013671875 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57769924029529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57769924029529))-π/2
    2×atan(4.84379856453233)-π/2
    2×1.36720704465202-π/2
    2.73441408930405-1.57079632675     		φ = 1.16361776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16361776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.670387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7590 KachelY 4078 -0.23086411 1.16361776 -13.227539 66.670387
    Oben rechts KachelX + 1 7591 KachelY 4078 -0.23048061 1.16361776 -13.205566 66.670387
    Unten links KachelX 7590 KachelY + 1 4079 -0.23086411 1.16346586 -13.227539 66.661683
    Unten rechts KachelX + 1 7591 KachelY + 1 4079 -0.23048061 1.16346586 -13.205566 66.661683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16361776-1.16346586) × R
    0.000151899999999872 × 6371000     		dl = 967.754899999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16361776-1.16346586) × R
    0.000151899999999872 × 6371000     		dr = 967.754899999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(1.16361776) × R
    0.000383500000000009 × 0.396020149714119 × 6371000     		do = 967.58751736331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(1.16346586) × R
    0.000383500000000009 × 0.396159626077318 × 6371000     		du = 967.928296962772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16361776)-sin(1.16346586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396020149714119-0.396159626077318)×R²
    abs(-0.23048061--0.23086411)×0.000139476363198887×R²
    0.000383500000000009×0.000139476363198887×6371000²
    0.000383500000000009×0.000139476363198887×40589641000000     		ar = 936552.458470622m²