Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75896 / 56445
↖ ↑ ↗
← N 24.214405°
E 28.454590°		 ← 278.55 m → N 24.214405°
E 28.457337°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.211900°
E 28.454590°		 ← 278.56 m →
77 589 m²		 N 24.211900°
E 28.457337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579044342041016 y=0.430644989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579044342041016 × 217)
    floor (0.579044342041016 × 131072)
    floor (75896.5)     		tx = 75896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430644989013672 × 217)
    floor (0.430644989013672 × 131072)
    floor (56445.5)     		ty = 56445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75896 / 56445 ti = "17/75896/56445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75896/56445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75896 ÷ 217
    75896 ÷ 131072     		x = 0.57904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56445 ÷ 217
    56445 ÷ 131072     		y = 0.430641174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57904052734375 × 2 - 1) × π
    0.1580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49662628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430641174316406 × 2 - 1) × π
    0.138717651367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.435794354445931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49662628} λ = 0.49662628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435794354445931))-π/2
    2×atan(1.54619079479017)-π/2
    2×0.996708707017708-π/2
    1.99341741403542-1.57079632675     		φ = 0.42262109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49662628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.454590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42262109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.214405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75896 KachelY 56445 0.49662628 0.42262109 28.454590 24.214405
    Oben rechts KachelX + 1 75897 KachelY 56445 0.49667422 0.42262109 28.457337 24.214405
    Unten links KachelX 75896 KachelY + 1 56446 0.49662628 0.42257737 28.454590 24.211900
    Unten rechts KachelX + 1 75897 KachelY + 1 56446 0.49667422 0.42257737 28.457337 24.211900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42262109-0.42257737) × R
    4.37199999999693e-05 × 6371000     		dl = 278.540119999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42262109-0.42257737) × R
    4.37199999999693e-05 × 6371000     		dr = 278.540119999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49662628-0.49667422) × cos(0.42262109) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91201702817996 × 6371000     		do = 278.553475724605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49662628-0.49667422) × cos(0.42257737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		du = 278.55895231006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42262109)-sin(0.42257737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91201702817996-0.912034959168537)×R²
    abs(0.49667422-0.49662628)×1.79309885763868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79309885763868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79309885763868e-05×40589641000000     		ar = 77589.0812914378m²