Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75896 / 56441
↖ ↑ ↗
← N 24.224424°
E 28.454590°		 ← 278.53 m → N 24.224424°
E 28.457337°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.221919°
E 28.454590°		 ← 278.54 m →
77 583 m²		 N 24.221919°
E 28.457337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579044342041016 y=0.430614471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579044342041016 × 217)
    floor (0.579044342041016 × 131072)
    floor (75896.5)     		tx = 75896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430614471435547 × 217)
    floor (0.430614471435547 × 131072)
    floor (56441.5)     		ty = 56441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75896 / 56441 ti = "17/75896/56441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75896/56441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75896 ÷ 217
    75896 ÷ 131072     		x = 0.57904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56441 ÷ 217
    56441 ÷ 131072     		y = 0.430610656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57904052734375 × 2 - 1) × π
    0.1580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49662628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430610656738281 × 2 - 1) × π
    0.138778686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.435986102044411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49662628} λ = 0.49662628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435986102044411))-π/2
    2×atan(1.54648730158819)-π/2
    2×0.99679614211659-π/2
    1.99359228423318-1.57079632675     		φ = 0.42279596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49662628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.454590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42279596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.224424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75896 KachelY 56441 0.49662628 0.42279596 28.454590 24.224424
    Oben rechts KachelX + 1 75897 KachelY 56441 0.49667422 0.42279596 28.457337 24.224424
    Unten links KachelX 75896 KachelY + 1 56442 0.49662628 0.42275224 28.454590 24.221919
    Unten rechts KachelX + 1 75897 KachelY + 1 56442 0.49667422 0.42275224 28.457337 24.221919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42279596-0.42275224) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42279596-0.42275224) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49662628-0.49667422) × cos(0.42279596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911945290896472 × 6371000     		do = 278.53156531171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49662628-0.49667422) × cos(0.42275224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		du = 278.537044026732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42279596)-sin(0.42275224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911945290896472-0.911963228857502)×R²
    abs(0.49667422-0.49662628)×1.79379610295571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79379610295571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79379610295571e-05×40589641000000     		ar = 77582.9786590636m²