Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75895 / 56503
↖ ↑ ↗
← N 24.069036°
E 28.451843°		 ← 278.87 m → N 24.069036°
E 28.454590°		 →
↑
278.86 m
↓
↑
278.86 m
↓
N 24.066528°
E 28.451843°		 ← 278.88 m →
77 766 m²		 N 24.066528°
E 28.454590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579036712646484 y=0.431087493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579036712646484 × 217)
    floor (0.579036712646484 × 131072)
    floor (75895.5)     		tx = 75895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431087493896484 × 217)
    floor (0.431087493896484 × 131072)
    floor (56503.5)     		ty = 56503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75895 / 56503 ti = "17/75895/56503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75895/56503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75895 ÷ 217
    75895 ÷ 131072     		x = 0.579032897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56503 ÷ 217
    56503 ÷ 131072     		y = 0.431083679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579032897949219 × 2 - 1) × π
    0.158065795898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.49657834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431083679199219 × 2 - 1) × π
    0.137832641601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.433014014267967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49657834} λ = 0.49657834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433014014267967))-π/2
    2×atan(1.54189782911857)-π/2
    2×0.995440126399034-π/2
    1.99088025279807-1.57079632675     		φ = 0.42008393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49657834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.451843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42008393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.069036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75895 KachelY 56503 0.49657834 0.42008393 28.451843 24.069036
    Oben rechts KachelX + 1 75896 KachelY 56503 0.49662628 0.42008393 28.454590 24.069036
    Unten links KachelX 75895 KachelY + 1 56504 0.49657834 0.42004016 28.451843 24.066528
    Unten rechts KachelX + 1 75896 KachelY + 1 56504 0.49662628 0.42004016 28.454590 24.066528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42008393-0.42004016) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dl = 278.858669999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42008393-0.42004016) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dr = 278.858669999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49657834-0.49662628) × cos(0.42008393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913054713761512 × 6371000     		do = 278.870411610915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49657834-0.49662628) × cos(0.42004016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913072563916191 × 6371000     		du = 278.875863507617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42008393)-sin(0.42004016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913054713761512-0.913072563916191)×R²
    abs(0.49662628-0.49657834)×1.78501546790333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78501546790333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78501546790333e-05×40589641000000     		ar = 77766.1922509123m²