Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75893 / 56502
↖ ↑ ↗
← N 24.071543°
E 28.446350°		 ← 278.86 m → N 24.071543°
E 28.449097°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.069036°
E 28.446350°		 ← 278.87 m →
77 747 m²		 N 24.069036°
E 28.449097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579021453857422 y=0.431079864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579021453857422 × 217)
    floor (0.579021453857422 × 131072)
    floor (75893.5)     		tx = 75893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431079864501953 × 217)
    floor (0.431079864501953 × 131072)
    floor (56502.5)     		ty = 56502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75893 / 56502 ti = "17/75893/56502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75893/56502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75893 ÷ 217
    75893 ÷ 131072     		x = 0.579017639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56502 ÷ 217
    56502 ÷ 131072     		y = 0.431076049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579017639160156 × 2 - 1) × π
    0.158035278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.49648247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431076049804688 × 2 - 1) × π
    0.137847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.433061951167587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49648247} λ = 0.49648247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433061951167587))-π/2
    2×atan(1.54197174469166)-π/2
    2×0.995462010691222-π/2
    1.99092402138244-1.57079632675     		φ = 0.42012769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49648247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.446350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42012769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.071543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75893 KachelY 56502 0.49648247 0.42012769 28.446350 24.071543
    Oben rechts KachelX + 1 75894 KachelY 56502 0.49653041 0.42012769 28.449097 24.071543
    Unten links KachelX 75893 KachelY + 1 56503 0.49648247 0.42008393 28.446350 24.069036
    Unten rechts KachelX + 1 75894 KachelY + 1 56503 0.49653041 0.42008393 28.449097 24.069036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42012769-0.42008393) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42012769-0.42008393) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49648247-0.49653041) × cos(0.42012769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913036865936361 × 6371000     		do = 278.864960425711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49648247-0.49653041) × cos(0.42008393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913054713761512 × 6371000     		du = 278.870411610915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42012769)-sin(0.42008393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913036865936361-0.913054713761512)×R²
    abs(0.49653041-0.49648247)×1.78478251506853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78478251506853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78478251506853e-05×40589641000000     		ar = 77746.9053811972m²