Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75891 / 56434
↖ ↑ ↗
← N 24.241956°
E 28.440857°		 ← 278.44 m → N 24.241956°
E 28.443603°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.239452°
E 28.440857°		 ← 278.44 m →
77 538 m²		 N 24.239452°
E 28.443603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579006195068359 y=0.430561065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579006195068359 × 217)
    floor (0.579006195068359 × 131072)
    floor (75891.5)     		tx = 75891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430561065673828 × 217)
    floor (0.430561065673828 × 131072)
    floor (56434.5)     		ty = 56434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75891 / 56434 ti = "17/75891/56434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75891/56434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75891 ÷ 217
    75891 ÷ 131072     		x = 0.579002380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56434 ÷ 217
    56434 ÷ 131072     		y = 0.430557250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579002380371094 × 2 - 1) × π
    0.158004760742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49638660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430557250976562 × 2 - 1) × π
    0.138885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.436321660341751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49638660} λ = 0.49638660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436321660341751))-π/2
    2×atan(1.54700632531045)-π/2
    2×0.99694913698624-π/2
    1.99389827397248-1.57079632675     		φ = 0.42310195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49638660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.440857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42310195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.241956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75891 KachelY 56434 0.49638660 0.42310195 28.440857 24.241956
    Oben rechts KachelX + 1 75892 KachelY 56434 0.49643453 0.42310195 28.443603 24.241956
    Unten links KachelX 75891 KachelY + 1 56435 0.49638660 0.42305824 28.440857 24.239452
    Unten rechts KachelX + 1 75892 KachelY + 1 56435 0.49643453 0.42305824 28.443603 24.239452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42310195-0.42305824) × R
    4.37100000000301e-05 × 6371000     		dl = 278.476410000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42310195-0.42305824) × R
    4.37100000000301e-05 × 6371000     		dr = 278.476410000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49638660-0.49643453) × cos(0.42310195) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911819696893166 × 6371000     		do = 278.43511363713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49638660-0.49643453) × cos(0.42305824) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911837642947863 × 6371000     		du = 278.440593680823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42310195)-sin(0.42305824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911819696893166-0.911837642947863)×R²
    abs(0.49643453-0.49638660)×1.79460546969601e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79460546969601e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79460546969601e-05×40589641000000     		ar = 77538.3739075125m²