Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75890 / 56500
↖ ↑ ↗
← N 24.076559°
E 28.438110°		 ← 278.85 m → N 24.076559°
E 28.440857°		 →
↑
278.86 m
↓
↑
278.86 m
↓
N 24.074051°
E 28.438110°		 ← 278.86 m →
77 762 m²		 N 24.074051°
E 28.440857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578998565673828 y=0.431064605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578998565673828 × 217)
    floor (0.578998565673828 × 131072)
    floor (75890.5)     		tx = 75890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431064605712891 × 217)
    floor (0.431064605712891 × 131072)
    floor (56500.5)     		ty = 56500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75890 / 56500 ti = "17/75890/56500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75890/56500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75890 ÷ 217
    75890 ÷ 131072     		x = 0.578994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56500 ÷ 217
    56500 ÷ 131072     		y = 0.431060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578994750976562 × 2 - 1) × π
    0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    0.13787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.433157824966827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49633866} λ = 0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433157824966827))-π/2
    2×atan(1.54211958646811)-π/2
    2×0.995505777991909-π/2
    1.99101155598382-1.57079632675     		φ = 0.42021523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42021523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.076559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75890 KachelY 56500 0.49633866 0.42021523 28.438110 24.076559
    Oben rechts KachelX + 1 75891 KachelY 56500 0.49638660 0.42021523 28.440857 24.076559
    Unten links KachelX 75890 KachelY + 1 56501 0.49633866 0.42017146 28.438110 24.074051
    Unten rechts KachelX + 1 75891 KachelY + 1 56501 0.49638660 0.42017146 28.440857 24.074051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42021523-0.42017146) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dl = 278.858669999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42021523-0.42017146) × R
    4.37699999999985e-05 × 6371000     		dr = 278.858669999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49633866-0.49638660) × cos(0.42021523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913001156881729 × 6371000     		do = 278.854053961598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49633866-0.49638660) × cos(0.42017146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913019012283632 × 6371000     		du = 278.859507460937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42021523)-sin(0.42017146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913001156881729-0.913019012283632)×R²
    abs(0.49638660-0.49633866)×1.78554019027999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78554019027999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78554019027999e-05×40589641000000     		ar = 77761.631002075m²