Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75890 / 56437
↖ ↑ ↗
← N 24.234442°
E 28.438110°		 ← 278.51 m → N 24.234442°
E 28.440857°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.231938°
E 28.438110°		 ← 278.52 m →
77 559 m²		 N 24.231938°
E 28.440857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578998565673828 y=0.430583953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578998565673828 × 217)
    floor (0.578998565673828 × 131072)
    floor (75890.5)     		tx = 75890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430583953857422 × 217)
    floor (0.430583953857422 × 131072)
    floor (56437.5)     		ty = 56437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75890 / 56437 ti = "17/75890/56437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75890/56437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75890 ÷ 217
    75890 ÷ 131072     		x = 0.578994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56437 ÷ 217
    56437 ÷ 131072     		y = 0.430580139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578994750976562 × 2 - 1) × π
    0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430580139160156 × 2 - 1) × π
    0.138839721679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.436177849642891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49633866} λ = 0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436177849642891))-π/2
    2×atan(1.54678386524612)-π/2
    2×0.996883570336673-π/2
    1.99376714067335-1.57079632675     		φ = 0.42297081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42297081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.234442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75890 KachelY 56437 0.49633866 0.42297081 28.438110 24.234442
    Oben rechts KachelX + 1 75891 KachelY 56437 0.49638660 0.42297081 28.440857 24.234442
    Unten links KachelX 75890 KachelY + 1 56438 0.49633866 0.42292710 28.438110 24.231938
    Unten rechts KachelX + 1 75891 KachelY + 1 56438 0.49638660 0.42292710 28.440857 24.231938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42297081-0.42292710) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42297081-0.42292710) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49633866-0.49638660) × cos(0.42297081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911873533935563 × 6371000     		do = 278.509648888824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49633866-0.49638660) × cos(0.42292710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911891474763386 × 6371000     		du = 278.515128479438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42297081)-sin(0.42292710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911873533935563-0.911891474763386)×R²
    abs(0.49638660-0.49633866)×1.79408278226934e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79408278226934e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79408278226934e-05×40589641000000     		ar = 77559.1301536109m²