Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7589 / 3279
↖ ↑ ↗
← N 72.718432°
W 13.249512°		 ← 725.80 m → N 72.718432°
W 13.227539°		 →
↑
725.98 m
↓
↑
725.98 m
↓
N 72.711903°
W 13.249512°		 ← 726.07 m →
527 010 m²		 N 72.711903°
W 13.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463226318359375 y=0.200164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463226318359375 × 214)
    floor (0.463226318359375 × 16384)
    floor (7589.5)     		tx = 7589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200164794921875 × 214)
    floor (0.200164794921875 × 16384)
    floor (3279.5)     		ty = 3279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7589 / 3279 ti = "14/7589/3279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7589/3279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7589 ÷ 214
    7589 ÷ 16384     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3279 ÷ 214
    3279 ÷ 16384     		y = 0.20013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20013427734375 × 2 - 1) × π
    0.5997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88411190266669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88411190266669))-π/2
    2×atan(6.58050771481456)-π/2
    2×1.41998619315464-π/2
    2.83997238630928-1.57079632675     		φ = 1.26917606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26917606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.718432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7589 KachelY 3279 -0.23124760 1.26917606 -13.249512 72.718432
    Oben rechts KachelX + 1 7590 KachelY 3279 -0.23086411 1.26917606 -13.227539 72.718432
    Unten links KachelX 7589 KachelY + 1 3280 -0.23124760 1.26906211 -13.249512 72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 7590 KachelY + 1 3280 -0.23086411 1.26906211 -13.227539 72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26917606-1.26906211) × R
    0.000113950000000029 × 6371000     		dl = 725.975450000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26917606-1.26906211) × R
    0.000113950000000029 × 6371000     		dr = 725.975450000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23086411) × cos(1.26917606) × R
    0.000383489999999986 × 0.297067718066082 × 6371000     		do = 725.800242410575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23086411) × cos(1.26906211) × R
    0.000383489999999986 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 726.066073853534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26917606)-sin(1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297067718066082-0.29717652202554)×R²
    abs(-0.23086411--0.23124760)×0.000108803959458448×R²
    0.000383489999999986×0.000108803959458448×6371000²
    0.000383489999999986×0.000108803959458448×40589641000000     		ar = 527009.651713625m²