Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75884 / 56435
↖ ↑ ↗
← N 24.239452°
E 28.421631°		 ← 278.44 m → N 24.239452°
E 28.424377°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.236947°
E 28.421631°		 ← 278.45 m →
77 540 m²		 N 24.236947°
E 28.424377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578952789306641 y=0.430568695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578952789306641 × 217)
    floor (0.578952789306641 × 131072)
    floor (75884.5)     		tx = 75884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430568695068359 × 217)
    floor (0.430568695068359 × 131072)
    floor (56435.5)     		ty = 56435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75884 / 56435 ti = "17/75884/56435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75884/56435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75884 ÷ 217
    75884 ÷ 131072     		x = 0.578948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56435 ÷ 217
    56435 ÷ 131072     		y = 0.430564880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578948974609375 × 2 - 1) × π
    0.15789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49605104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430564880371094 × 2 - 1) × π
    0.138870239257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.436273723442131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49605104} λ = 0.49605104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436273723442131))-π/2
    2×atan(1.54693216840097)-π/2
    2×0.996927281866498-π/2
    1.993854563733-1.57079632675     		φ = 0.42305824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49605104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42305824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.239452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75884 KachelY 56435 0.49605104 0.42305824 28.421631 24.239452
    Oben rechts KachelX + 1 75885 KachelY 56435 0.49609897 0.42305824 28.424377 24.239452
    Unten links KachelX 75884 KachelY + 1 56436 0.49605104 0.42301453 28.421631 24.236947
    Unten rechts KachelX + 1 75885 KachelY + 1 56436 0.49609897 0.42301453 28.424377 24.236947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42305824-0.42301453) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42305824-0.42301453) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49605104-0.49609897) × cos(0.42305824) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911837642947863 × 6371000     		do = 278.440593680823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49605104-0.49609897) × cos(0.42301453) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911855587260436 × 6371000     		du = 278.446073192537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42305824)-sin(0.42301453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911837642947863-0.911855587260436)×R²
    abs(0.49609897-0.49605104)×1.79443125727374e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79443125727374e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79443125727374e-05×40589641000000     		ar = 77539.8998961686m²