Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75884 / 56433
↖ ↑ ↗
← N 24.244460°
E 28.421631°		 ← 278.43 m → N 24.244460°
E 28.424377°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.241956°
E 28.421631°		 ← 278.44 m →
77 537 m²		 N 24.241956°
E 28.424377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578952789306641 y=0.430553436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578952789306641 × 217)
    floor (0.578952789306641 × 131072)
    floor (75884.5)     		tx = 75884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430553436279297 × 217)
    floor (0.430553436279297 × 131072)
    floor (56433.5)     		ty = 56433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75884 / 56433 ti = "17/75884/56433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75884/56433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75884 ÷ 217
    75884 ÷ 131072     		x = 0.578948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56433 ÷ 217
    56433 ÷ 131072     		y = 0.430549621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578948974609375 × 2 - 1) × π
    0.15789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49605104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430549621582031 × 2 - 1) × π
    0.138900756835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.436369597241371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49605104} λ = 0.49605104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436369597241371))-π/2
    2×atan(1.54708048577488)-π/2
    2×0.996970991675824-π/2
    1.99394198335165-1.57079632675     		φ = 0.42314566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49605104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42314566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.244460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75884 KachelY 56433 0.49605104 0.42314566 28.421631 24.244460
    Oben rechts KachelX + 1 75885 KachelY 56433 0.49609897 0.42314566 28.424377 24.244460
    Unten links KachelX 75884 KachelY + 1 56434 0.49605104 0.42310195 28.421631 24.241956
    Unten rechts KachelX + 1 75885 KachelY + 1 56434 0.49609897 0.42310195 28.424377 24.241956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42314566-0.42310195) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42314566-0.42310195) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49605104-0.49609897) × cos(0.42314566) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911801749096379 × 6371000     		do = 278.429633061469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49605104-0.49609897) × cos(0.42310195) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911819696893166 × 6371000     		du = 278.43511363713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42314566)-sin(0.42310195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911801749096379-0.911819696893166)×R²
    abs(0.49609897-0.49605104)×1.79477967868769e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79477967868769e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79477967868769e-05×40589641000000     		ar = 77536.8477703636m²