Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7588 / 5260
↖ ↑ ↗
← N 76.486046°
W 96.635742°		 ← 285.48 m → N 76.486046°
W 96.624756°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 76.483478°
W 96.635742°		 ← 285.53 m →
81 506 m²		 N 76.483478°
W 96.624756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231582641601562 y=0.160537719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231582641601562 × 215)
    floor (0.231582641601562 × 32768)
    floor (7588.5)     		tx = 7588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160537719726562 × 215)
    floor (0.160537719726562 × 32768)
    floor (5260.5)     		ty = 5260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7588 / 5260 ti = "15/7588/5260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7588/5260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7588 ÷ 215
    7588 ÷ 32768     		x = 0.2315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5260 ÷ 215
    5260 ÷ 32768     		y = 0.1605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68661188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1605224609375 × 2 - 1) × π
    0.678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13300028549402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68661188} λ = -1.68661188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13300028549402))-π/2
    2×atan(8.44015172628291)-π/2
    2×1.45286482722215-π/2
    2.90572965444431-1.57079632675     		φ = 1.33493333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68661188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33493333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.486046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7588 KachelY 5260 -1.68661188 1.33493333 -96.635742 76.486046
    Oben rechts KachelX + 1 7589 KachelY 5260 -1.68642013 1.33493333 -96.624756 76.486046
    Unten links KachelX 7588 KachelY + 1 5261 -1.68661188 1.33488852 -96.635742 76.483478
    Unten rechts KachelX + 1 7589 KachelY + 1 5261 -1.68642013 1.33488852 -96.624756 76.483478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33493333-1.33488852) × R
    4.48099999998952e-05 × 6371000     		dl = 285.484509999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33493333-1.33488852) × R
    4.48099999998952e-05 × 6371000     		dr = 285.484509999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68661188--1.68642013) × cos(1.33493333) × R
    0.000191750000000157 × 0.233682175461332 × 6371000     		do = 285.475317569183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68661188--1.68642013) × cos(1.33488852) × R
    0.000191750000000157 × 0.233725744573871 × 6371000     		du = 285.528543307149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33493333)-sin(1.33488852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233682175461332-0.233725744573871)×R²
    abs(-1.68642013--1.68661188)×4.35691125396653e-05×R²
    0.000191750000000157×4.35691125396653e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.35691125396653e-05×40589641000000     		ar = 81506.3787290454m²