Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7588 / 5164
↖ ↑ ↗
← N 55.229023°
W 13.271484°		 ← 1 393.40 m → N 55.229023°
W 13.249512°		 →
↑
1 393.66 m
↓
↑
1 393.66 m
↓
N 55.216490°
W 13.271484°		 ← 1 393.83 m →
1 942 221 m²		 N 55.216490°
W 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463165283203125 y=0.315216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463165283203125 × 214)
    floor (0.463165283203125 × 16384)
    floor (7588.5)     		tx = 7588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315216064453125 × 214)
    floor (0.315216064453125 × 16384)
    floor (5164.5)     		ty = 5164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7588 / 5164 ti = "14/7588/5164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7588/5164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7588 ÷ 214
    7588 ÷ 16384     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5164 ÷ 214
    5164 ÷ 16384     		y = 0.315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315185546875 × 2 - 1) × π
    0.36962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16122345639624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16122345639624))-π/2
    2×atan(3.19383840877908)-π/2
    2×1.26736231089379-π/2
    2.53472462178757-1.57079632675     		φ = 0.96392830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96392830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.229023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7588 KachelY 5164 -0.23163110 0.96392830 -13.271484 55.229023
    Oben rechts KachelX + 1 7589 KachelY 5164 -0.23124760 0.96392830 -13.249512 55.229023
    Unten links KachelX 7588 KachelY + 1 5165 -0.23163110 0.96370955 -13.271484 55.216490
    Unten rechts KachelX + 1 7589 KachelY + 1 5165 -0.23124760 0.96370955 -13.249512 55.216490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96392830-0.96370955) × R
    0.000218749999999934 × 6371000     		dl = 1393.65624999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96392830-0.96370955) × R
    0.000218749999999934 × 6371000     		dr = 1393.65624999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23124760) × cos(0.96392830) × R
    0.000383500000000009 × 0.570297538968353 × 6371000     		do = 1393.39571556432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23124760) × cos(0.96370955) × R
    0.000383500000000009 × 0.57047721492844 × 6371000     		du = 1393.83471397457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96392830)-sin(0.96370955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570297538968353-0.57047721492844)×R²
    abs(-0.23124760--0.23163110)×0.000179675960086279×R²
    0.000383500000000009×0.000179675960086279×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179675960086279×40589641000000     		ar = 1942220.56190217m²