Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7588 / 4156
↖ ↑ ↗
← N 65.982270°
W 13.271484°		 ← 994.46 m → N 65.982270°
W 13.249512°		 →
↑
994.64 m
↓
↑
994.64 m
↓
N 65.973325°
W 13.271484°		 ← 994.81 m →
989 305 m²		 N 65.973325°
W 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463165283203125 y=0.253692626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463165283203125 × 214)
    floor (0.463165283203125 × 16384)
    floor (7588.5)     		tx = 7588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253692626953125 × 214)
    floor (0.253692626953125 × 16384)
    floor (4156.5)     		ty = 4156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7588 / 4156 ti = "14/7588/4156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7588/4156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7588 ÷ 214
    7588 ÷ 16384     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4156 ÷ 214
    4156 ÷ 16384     		y = 0.253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253662109375 × 2 - 1) × π
    0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54778661493237))-π/2
    2×atan(4.70105341725116)-π/2
    2×1.36120209336851-π/2
    2.72240418673703-1.57079632675     		φ = 1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7588 KachelY 4156 -0.23163110 1.15160786 -13.271484 65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 7589 KachelY 4156 -0.23124760 1.15160786 -13.249512 65.982270
    Unten links KachelX 7588 KachelY + 1 4157 -0.23163110 1.15145174 -13.271484 65.973325
    Unten rechts KachelX + 1 7589 KachelY + 1 4157 -0.23124760 1.15145174 -13.249512 65.973325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15160786-1.15145174) × R
    0.000156119999999982 × 6371000     		dl = 994.640519999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15160786-1.15145174) × R
    0.000156119999999982 × 6371000     		dr = 994.640519999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23124760) × cos(1.15160786) × R
    0.000383500000000009 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 994.46154600282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23124760) × cos(1.15145174) × R
    0.000383500000000009 × 0.407161914973395 × 6371000     		du = 994.809952873348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15160786)-sin(1.15145174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.407161914973395)×R²
    abs(-0.23124760--0.23163110)×0.000142598099450331×R²
    0.000383500000000009×0.000142598099450331×6371000²
    0.000383500000000009×0.000142598099450331×40589641000000     		ar = 989305.021041219m²