Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7587 / 5153
↖ ↑ ↗
← N 55.366625°
W 13.293457°		 ← 1 388.54 m → N 55.366625°
W 13.271484°		 →
↑
1 388.75 m
↓
↑
1 388.75 m
↓
N 55.354136°
W 13.293457°		 ← 1 388.97 m →
1 928 634 m²		 N 55.354136°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463104248046875 y=0.314544677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463104248046875 × 214)
    floor (0.463104248046875 × 16384)
    floor (7587.5)     		tx = 7587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314544677734375 × 214)
    floor (0.314544677734375 × 16384)
    floor (5153.5)     		ty = 5153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7587 / 5153 ti = "14/7587/5153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7587/5153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7587 ÷ 214
    7587 ÷ 16384     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5153 ÷ 214
    5153 ÷ 16384     		y = 0.31451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31451416015625 × 2 - 1) × π
    0.3709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16544190356281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16544190356281))-π/2
    2×atan(3.20733990501742)-π/2
    2×1.26856311305626-π/2
    2.53712622611252-1.57079632675     		φ = 0.96632990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96632990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.366625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7587 KachelY 5153 -0.23201459 0.96632990 -13.293457 55.366625
    Oben rechts KachelX + 1 7588 KachelY 5153 -0.23163110 0.96632990 -13.271484 55.366625
    Unten links KachelX 7587 KachelY + 1 5154 -0.23201459 0.96611192 -13.293457 55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 7588 KachelY + 1 5154 -0.23163110 0.96611192 -13.271484 55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96632990-0.96611192) × R
    0.000217979999999951 × 6371000     		dl = 1388.75057999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96632990-0.96611192) × R
    0.000217979999999951 × 6371000     		dr = 1388.75057999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23163110) × cos(0.96632990) × R
    0.000383489999999986 × 0.568323130235903 × 6371000     		do = 1388.5354772914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23163110) × cos(0.96611192) × R
    0.000383489999999986 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 1388.97364741434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96632990)-sin(0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568323130235903-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.23163110--0.23201459)×0.0001793416300232×R²
    0.000383489999999986×0.0001793416300232×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001793416300232×40589641000000     		ar = 1928633.71158143m²