Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7586 / 3298
↖ ↑ ↗
← N 72.593980°
W 13.315430°		 ← 730.88 m → N 72.593980°
W 13.293457°		 →
↑
731.01 m
↓
↑
731.01 m
↓
N 72.587405°
W 13.315430°		 ← 731.15 m →
534 381 m²		 N 72.587405°
W 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463043212890625 y=0.201324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463043212890625 × 214)
    floor (0.463043212890625 × 16384)
    floor (7586.5)     		tx = 7586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201324462890625 × 214)
    floor (0.201324462890625 × 16384)
    floor (3298.5)     		ty = 3298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7586 / 3298 ti = "14/7586/3298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7586/3298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7586 ÷ 214
    7586 ÷ 16384     		x = 0.4630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3298 ÷ 214
    3298 ÷ 16384     		y = 0.2012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2012939453125 × 2 - 1) × π
    0.597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87682549392444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23239809} λ = -0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87682549392444))-π/2
    2×atan(6.53273370771137)-π/2
    2×1.41890014188772-π/2
    2.83780028377545-1.57079632675     		φ = 1.26700396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26700396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.593980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7586 KachelY 3298 -0.23239809 1.26700396 -13.315430 72.593980
    Oben rechts KachelX + 1 7587 KachelY 3298 -0.23201459 1.26700396 -13.293457 72.593980
    Unten links KachelX 7586 KachelY + 1 3299 -0.23239809 1.26688922 -13.315430 72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 7587 KachelY + 1 3299 -0.23201459 1.26688922 -13.293457 72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26700396-1.26688922) × R
    0.000114740000000113 × 6371000     		dl = 731.00854000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26700396-1.26688922) × R
    0.000114740000000113 × 6371000     		dr = 731.00854000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23239809--0.23201459) × cos(1.26700396) × R
    0.000383500000000009 × 0.29914105926629 × 6371000     		do = 730.88491857257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23239809--0.23201459) × cos(1.26688922) × R
    0.000383500000000009 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 731.152418377936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26700396)-sin(1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29914105926629-0.29925054322621)×R²
    abs(-0.23201459--0.23239809)×0.000109483959919388×R²
    0.000383500000000009×0.000109483959919388×6371000²
    0.000383500000000009×0.000109483959919388×40589641000000     		ar = 534380.890141892m²