Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75856 / 60912
↖ ↑ ↗
← N 12.597455°
E 28.344726°		 ← 298.07 m → N 12.597455°
E 28.347473°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
N 12.594774°
E 28.344726°		 ← 298.08 m →
88 837 m²		 N 12.594774°
E 28.347473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578739166259766 y=0.464725494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578739166259766 × 217)
    floor (0.578739166259766 × 131072)
    floor (75856.5)     		tx = 75856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464725494384766 × 217)
    floor (0.464725494384766 × 131072)
    floor (60912.5)     		ty = 60912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75856 / 60912 ti = "17/75856/60912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75856/60912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75856 ÷ 217
    75856 ÷ 131072     		x = 0.5787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60912 ÷ 217
    60912 ÷ 131072     		y = 0.4647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5787353515625 × 2 - 1) × π
    0.157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49470880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4647216796875 × 2 - 1) × π
    0.070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.22166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49470880} λ = 0.49470880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.22166022384314))-π/2
    2×atan(1.24814721514422)-π/2
    2×0.895331692634112-π/2
    1.79066338526822-1.57079632675     		φ = 0.21986706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49470880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.344726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21986706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.597455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75856 KachelY 60912 0.49470880 0.21986706 28.344726 12.597455
    Oben rechts KachelX + 1 75857 KachelY 60912 0.49475674 0.21986706 28.347473 12.597455
    Unten links KachelX 75856 KachelY + 1 60913 0.49470880 0.21982028 28.344726 12.594774
    Unten rechts KachelX + 1 75857 KachelY + 1 60913 0.49475674 0.21982028 28.347473 12.594774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21986706-0.21982028) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dl = 298.035379999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21986706-0.21982028) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dr = 298.035379999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49470880-0.49475674) × cos(0.21986706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975926452153073 × 6371000     		do = 298.073058834232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49470880-0.49475674) × cos(0.21982028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975936653797863 × 6371000     		du = 298.076174679141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21986706)-sin(0.21982028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975926452153073-0.975936653797863)×R²
    abs(0.49475674-0.49470880)×1.0201644789376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0201644789376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0201644789376e-05×40589641000000     		ar = 88836.7816896217m²