Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75843 / 61261
↖ ↑ ↗
← N 11.660306°
E 28.309021°		 ← 299.12 m → N 11.660306°
E 28.311768°		 →
↑
299.12 m
↓
↑
299.12 m
↓
N 11.657616°
E 28.309021°		 ← 299.13 m →
89 474 m²		 N 11.657616°
E 28.311768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578639984130859 y=0.467388153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578639984130859 × 217)
    floor (0.578639984130859 × 131072)
    floor (75843.5)     		tx = 75843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467388153076172 × 217)
    floor (0.467388153076172 × 131072)
    floor (61261.5)     		ty = 61261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75843 / 61261 ti = "17/75843/61261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75843/61261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75843 ÷ 217
    75843 ÷ 131072     		x = 0.578636169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61261 ÷ 217
    61261 ÷ 131072     		y = 0.467384338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578636169433594 × 2 - 1) × π
    0.157272338867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49408562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467384338378906 × 2 - 1) × π
    0.0652313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.20493024587574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49408562} λ = 0.49408562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20493024587574))-π/2
    2×atan(1.22743944301354)-π/2
    2×0.887153531097391-π/2
    1.77430706219478-1.57079632675     		φ = 0.20351074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49408562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.309021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20351074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.660306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75843 KachelY 61261 0.49408562 0.20351074 28.309021 11.660306
    Oben rechts KachelX + 1 75844 KachelY 61261 0.49413356 0.20351074 28.311768 11.660306
    Unten links KachelX 75843 KachelY + 1 61262 0.49408562 0.20346379 28.309021 11.657616
    Unten rechts KachelX + 1 75844 KachelY + 1 61262 0.49413356 0.20346379 28.311768 11.657616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20351074-0.20346379) × R
    4.69499999999901e-05 × 6371000     		dl = 299.118449999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20351074-0.20346379) × R
    4.69499999999901e-05 × 6371000     		dr = 299.118449999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49408562-0.49413356) × cos(0.20351074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9793630631088 × 6371000     		do = 299.122688278822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49408562-0.49413356) × cos(0.20346379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979372551040289 × 6371000     		du = 299.125586137318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20351074)-sin(0.20346379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9793630631088-0.979372551040289)×R²
    abs(0.49413356-0.49408562)×9.48793148924931e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.48793148924931e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.48793148924931e-06×40589641000000     		ar = 89473.5482956601m²