Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7584 / 10558
↖ ↑ ↗
← S 46.042735°
W 13.359375°		 ← 1 695.93 m → S 46.042735°
W 13.337402°		 →
↑
1 695.71 m
↓
↑
1 695.71 m
↓
S 46.057985°
W 13.359375°		 ← 1 695.46 m →
2 875 405 m²		 S 46.057985°
W 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462921142578125 y=0.644439697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462921142578125 × 214)
    floor (0.462921142578125 × 16384)
    floor (7584.5)     		tx = 7584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644439697265625 × 214)
    floor (0.644439697265625 × 16384)
    floor (10558.5)     		ty = 10558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7584 / 10558 ti = "14/7584/10558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7584/10558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7584 ÷ 214
    7584 ÷ 16384     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10558 ÷ 214
    10558 ÷ 16384     		y = 0.6444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907349636008423))-π/2
    2×atan(0.40359247474404)-π/2
    2×0.383599496513946-π/2
    0.767198993027892-1.57079632675     		φ = -0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7584 KachelY 10558 -0.23316508 -0.80359733 -13.359375 -46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 7585 KachelY 10558 -0.23278158 -0.80359733 -13.337402 -46.042735
    Unten links KachelX 7584 KachelY + 1 10559 -0.23316508 -0.80386349 -13.359375 -46.057985
    Unten rechts KachelX + 1 7585 KachelY + 1 10559 -0.23278158 -0.80386349 -13.337402 -46.057985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80359733--0.80386349) × R
    0.000266160000000015 × 6371000     		dl = 1695.7053600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80359733--0.80386349) × R
    0.000266160000000015 × 6371000     		dr = 1695.7053600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23278158) × cos(-0.80359733) × R
    0.000383500000000009 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 1695.93248029124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23278158) × cos(-0.80386349) × R
    0.000383500000000009 × 0.693930018449317 × 6371000     		du = 1695.46429458186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80359733)-sin(-0.80386349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.693930018449317)×R²
    abs(-0.23278158--0.23316508)×0.00019162191677391×R²
    0.000383500000000009×0.00019162191677391×6371000²
    0.000383500000000009×0.00019162191677391×40589641000000     		ar = 2875404.86149385m²