Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7584 / 10518
↖ ↑ ↗
← S 45.429299°
W 13.359375°		 ← 1 714.67 m → S 45.429299°
W 13.337402°		 →
↑
1 714.44 m
↓
↑
1 714.44 m
↓
S 45.444717°
W 13.359375°		 ← 1 714.20 m →
2 939 283 m²		 S 45.444717°
W 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462921142578125 y=0.641998291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462921142578125 × 214)
    floor (0.462921142578125 × 16384)
    floor (7584.5)     		tx = 7584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641998291015625 × 214)
    floor (0.641998291015625 × 16384)
    floor (10518.5)     		ty = 10518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7584 / 10518 ti = "14/7584/10518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7584/10518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7584 ÷ 214
    7584 ÷ 16384     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10518 ÷ 214
    10518 ÷ 16384     		y = 0.6419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.283935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892009828130005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892009828130005))-π/2
    2×atan(0.409831234116637)-π/2
    2×0.388952743528645-π/2
    0.77790548705729-1.57079632675     		φ = -0.79289084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79289084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.429299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7584 KachelY 10518 -0.23316508 -0.79289084 -13.359375 -45.429299
    Oben rechts KachelX + 1 7585 KachelY 10518 -0.23278158 -0.79289084 -13.337402 -45.429299
    Unten links KachelX 7584 KachelY + 1 10519 -0.23316508 -0.79315994 -13.359375 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 7585 KachelY + 1 10519 -0.23278158 -0.79315994 -13.337402 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79289084--0.79315994) × R
    0.000269100000000022 × 6371000     		dl = 1714.43610000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79289084--0.79315994) × R
    0.000269100000000022 × 6371000     		dr = 1714.43610000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23278158) × cos(-0.79289084) × R
    0.000383500000000009 × 0.701788859858306 × 6371000     		do = 1714.66563283135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23278158) × cos(-0.79315994) × R
    0.000383500000000009 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 1714.19718741156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79289084)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701788859858306-0.701597131645665)×R²
    abs(-0.23278158--0.23316508)×0.000191728212641906×R²
    0.000383500000000009×0.000191728212641906×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191728212641906×40589641000000     		ar = 2939283.1182227m²