Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75838 / 61758
↖ ↑ ↗
← N 10.320324°
E 28.295288°		 ← 300.48 m → N 10.320324°
E 28.298035°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
N 10.317622°
E 28.295288°		 ← 300.49 m →
90 283 m²		 N 10.317622°
E 28.298035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578601837158203 y=0.471179962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578601837158203 × 217)
    floor (0.578601837158203 × 131072)
    floor (75838.5)     		tx = 75838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471179962158203 × 217)
    floor (0.471179962158203 × 131072)
    floor (61758.5)     		ty = 61758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75838 / 61758 ti = "17/75838/61758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75838/61758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75838 ÷ 217
    75838 ÷ 131072     		x = 0.578598022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61758 ÷ 217
    61758 ÷ 131072     		y = 0.471176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578598022460938 × 2 - 1) × π
    0.157196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49384594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471176147460938 × 2 - 1) × π
    0.057647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.181105606764572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49384594} λ = 0.49384594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181105606764572))-π/2
    2×atan(1.19854174672597)-π/2
    2×0.875459976962305-π/2
    1.75091995392461-1.57079632675     		φ = 0.18012363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49384594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.295288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18012363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.320324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75838 KachelY 61758 0.49384594 0.18012363 28.295288 10.320324
    Oben rechts KachelX + 1 75839 KachelY 61758 0.49389388 0.18012363 28.298035 10.320324
    Unten links KachelX 75838 KachelY + 1 61759 0.49384594 0.18007647 28.295288 10.317622
    Unten rechts KachelX + 1 75839 KachelY + 1 61759 0.49389388 0.18007647 28.298035 10.317622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18012363-0.18007647) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18012363-0.18007647) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49384594-0.49389388) × cos(0.18012363) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983821551843296 × 6371000     		do = 300.484425499838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49384594-0.49389388) × cos(0.18007647) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983829999520063 × 6371000     		du = 300.487005637766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18012363)-sin(0.18007647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983821551843296-0.983829999520063)×R²
    abs(0.49389388-0.49384594)×8.44767676655422e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.44767676655422e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.44767676655422e-06×40589641000000     		ar = 90282.8443485581m²