Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75837 / 61121
↖ ↑ ↗
← N 12.036634°
E 28.292541°		 ← 298.71 m → N 12.036634°
E 28.295288°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
N 12.033948°
E 28.292541°		 ← 298.71 m →
89 217 m²		 N 12.033948°
E 28.295288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578594207763672 y=0.466320037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578594207763672 × 217)
    floor (0.578594207763672 × 131072)
    floor (75837.5)     		tx = 75837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466320037841797 × 217)
    floor (0.466320037841797 × 131072)
    floor (61121.5)     		ty = 61121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75837 / 61121 ti = "17/75837/61121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75837/61121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75837 ÷ 217
    75837 ÷ 131072     		x = 0.578590393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61121 ÷ 217
    61121 ÷ 131072     		y = 0.466316223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578590393066406 × 2 - 1) × π
    0.157180786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.49379800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466316223144531 × 2 - 1) × π
    0.0673675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.211641411822548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49379800} λ = 0.49379800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211641411822548))-π/2
    2×atan(1.23570469652717)-π/2
    2×0.890437613737132-π/2
    1.78087522747426-1.57079632675     		φ = 0.21007890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49379800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.292541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21007890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.036634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75837 KachelY 61121 0.49379800 0.21007890 28.292541 12.036634
    Oben rechts KachelX + 1 75838 KachelY 61121 0.49384594 0.21007890 28.295288 12.036634
    Unten links KachelX 75837 KachelY + 1 61122 0.49379800 0.21003202 28.292541 12.033948
    Unten rechts KachelX + 1 75838 KachelY + 1 61122 0.49384594 0.21003202 28.295288 12.033948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21007890-0.21003202) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21007890-0.21003202) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49379800-0.49384594) × cos(0.21007890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978014464193844 × 6371000     		do = 298.710791456912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49379800-0.49384594) × cos(0.21003202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978024239336778 × 6371000     		du = 298.713777037177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21007890)-sin(0.21003202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978014464193844-0.978024239336778)×R²
    abs(0.49384594-0.49379800)×9.7751429348758e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7751429348758e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7751429348758e-06×40589641000000     		ar = 89217.1387589053m²