Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75835 / 61250
↖ ↑ ↗
← N 11.689893°
E 28.287048°		 ← 299.09 m → N 11.689893°
E 28.289795°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.687204°
E 28.287048°		 ← 299.09 m →
89 445 m²		 N 11.687204°
E 28.289795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578578948974609 y=0.467304229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578578948974609 × 217)
    floor (0.578578948974609 × 131072)
    floor (75835.5)     		tx = 75835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467304229736328 × 217)
    floor (0.467304229736328 × 131072)
    floor (61250.5)     		ty = 61250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75835 / 61250 ti = "17/75835/61250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75835/61250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75835 ÷ 217
    75835 ÷ 131072     		x = 0.578575134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61250 ÷ 217
    61250 ÷ 131072     		y = 0.467300415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578575134277344 × 2 - 1) × π
    0.157150268554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.49370213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467300415039062 × 2 - 1) × π
    0.065399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.205457551771561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49370213} λ = 0.49370213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205457551771561))-π/2
    2×atan(1.2280868497443)-π/2
    2×0.887411729286076-π/2
    1.77482345857215-1.57079632675     		φ = 0.20402713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49370213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.287048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20402713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.689893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75835 KachelY 61250 0.49370213 0.20402713 28.287048 11.689893
    Oben rechts KachelX + 1 75836 KachelY 61250 0.49375007 0.20402713 28.289795 11.689893
    Unten links KachelX 75835 KachelY + 1 61251 0.49370213 0.20398019 28.287048 11.687204
    Unten rechts KachelX + 1 75836 KachelY + 1 61251 0.49375007 0.20398019 28.289795 11.687204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20402713-0.20398019) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20402713-0.20398019) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49370213-0.49375007) × cos(0.20402713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979258565542277 × 6371000     		do = 299.090772031892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49370213-0.49375007) × cos(0.20398019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979268075191107 × 6371000     		du = 299.093676523424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20402713)-sin(0.20398019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979258565542277-0.979268075191107)×R²
    abs(0.49375007-0.49370213)×9.50964883028593e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50964883028593e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50964883028593e-06×40589641000000     		ar = 89444.9473838098m²