Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75834 / 55668
↖ ↑ ↗
← N 26.145576°
E 28.284302°		 ← 274.17 m → N 26.145576°
E 28.287048°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.143111°
E 28.284302°		 ← 274.18 m →
75 164 m²		 N 26.143111°
E 28.287048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578571319580078 y=0.424716949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578571319580078 × 217)
    floor (0.578571319580078 × 131072)
    floor (75834.5)     		tx = 75834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424716949462891 × 217)
    floor (0.424716949462891 × 131072)
    floor (55668.5)     		ty = 55668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75834 / 55668 ti = "17/75834/55668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75834/55668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75834 ÷ 217
    75834 ÷ 131072     		x = 0.578567504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55668 ÷ 217
    55668 ÷ 131072     		y = 0.424713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578567504882812 × 2 - 1) × π
    0.157135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49365419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424713134765625 × 2 - 1) × π
    0.15057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.473041325450714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49365419} λ = 0.49365419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473041325450714))-π/2
    2×atan(1.60486770348707)-π/2
    2×1.01356135821817-π/2
    2.02712271643634-1.57079632675     		φ = 0.45632639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49365419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.284302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45632639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.145576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75834 KachelY 55668 0.49365419 0.45632639 28.284302 26.145576
    Oben rechts KachelX + 1 75835 KachelY 55668 0.49370213 0.45632639 28.287048 26.145576
    Unten links KachelX 75834 KachelY + 1 55669 0.49365419 0.45628336 28.284302 26.143111
    Unten rechts KachelX + 1 75835 KachelY + 1 55669 0.49370213 0.45628336 28.287048 26.143111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45632639-0.45628336) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45632639-0.45628336) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49365419-0.49370213) × cos(0.45632639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897677339771186 × 6371000     		do = 274.173765780984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49365419-0.49370213) × cos(0.45628336) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897696300254687 × 6371000     		du = 274.179556800688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45632639)-sin(0.45628336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897677339771186-0.897696300254687)×R²
    abs(0.49370213-0.49365419)×1.89604835012513e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89604835012513e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89604835012513e-05×40589641000000     		ar = 75163.9222874876m²