Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75833 / 55761
↖ ↑ ↗
← N 25.916056°
E 28.281555°		 ← 274.65 m → N 25.916056°
E 28.284302°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
N 25.913586°
E 28.281555°		 ← 274.66 m →
75 435 m²		 N 25.913586°
E 28.284302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578563690185547 y=0.425426483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578563690185547 × 217)
    floor (0.578563690185547 × 131072)
    floor (75833.5)     		tx = 75833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425426483154297 × 217)
    floor (0.425426483154297 × 131072)
    floor (55761.5)     		ty = 55761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75833 / 55761 ti = "17/75833/55761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75833/55761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75833 ÷ 217
    75833 ÷ 131072     		x = 0.578559875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55761 ÷ 217
    55761 ÷ 131072     		y = 0.425422668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578559875488281 × 2 - 1) × π
    0.157119750976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.49360626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425422668457031 × 2 - 1) × π
    0.149154663085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.468583193786049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49360626} λ = 0.49360626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468583193786049))-π/2
    2×atan(1.59772891661004)-π/2
    2×1.01155841494271-π/2
    2.02311682988541-1.57079632675     		φ = 0.45232050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49360626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.281555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45232050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.916056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75833 KachelY 55761 0.49360626 0.45232050 28.281555 25.916056
    Oben rechts KachelX + 1 75834 KachelY 55761 0.49365419 0.45232050 28.284302 25.916056
    Unten links KachelX 75833 KachelY + 1 55762 0.49360626 0.45227739 28.281555 25.913586
    Unten rechts KachelX + 1 75834 KachelY + 1 55762 0.49365419 0.45227739 28.284302 25.913586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45232050-0.45227739) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45232050-0.45227739) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49360626-0.49365419) × cos(0.45232050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89943534140982 × 6371000     		do = 274.653401706496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49360626-0.49365419) × cos(0.45227739) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899454181965442 × 6371000     		du = 274.659154896807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45232050)-sin(0.45227739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89943534140982-0.899454181965442)×R²
    abs(0.49365419-0.49360626)×1.88405556218463e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88405556218463e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88405556218463e-05×40589641000000     		ar = 75435.3932876996m²