Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7583 / 5271
↖ ↑ ↗
← N 76.457776°
W 96.690674°		 ← 286.05 m → N 76.457776°
W 96.679688°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 76.455203°
W 96.690674°		 ← 286.10 m →
81 833 m²		 N 76.455203°
W 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231430053710938 y=0.160873413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231430053710938 × 215)
    floor (0.231430053710938 × 32768)
    floor (7583.5)     		tx = 7583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160873413085938 × 215)
    floor (0.160873413085938 × 32768)
    floor (5271.5)     		ty = 5271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7583 / 5271 ti = "15/7583/5271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7583/5271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7583 ÷ 215
    7583 ÷ 32768     		x = 0.231414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5271 ÷ 215
    5271 ÷ 32768     		y = 0.160858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.53717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68757061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160858154296875 × 2 - 1) × π
    0.67828369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13089106191074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68757061} λ = -1.68757061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13089106191074))-π/2
    2×atan(8.42236832039783)-π/2
    2×1.45261813037236-π/2
    2.90523626074472-1.57079632675     		φ = 1.33443993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68757061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33443993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.457776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7583 KachelY 5271 -1.68757061 1.33443993 -96.690674 76.457776
    Oben rechts KachelX + 1 7584 KachelY 5271 -1.68737887 1.33443993 -96.679688 76.457776
    Unten links KachelX 7583 KachelY + 1 5272 -1.68757061 1.33439503 -96.690674 76.455203
    Unten rechts KachelX + 1 7584 KachelY + 1 5272 -1.68737887 1.33439503 -96.679688 76.455203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33443993-1.33439503) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33443993-1.33439503) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68757061--1.68737887) × cos(1.33443993) × R
    0.000191739999999996 × 0.234161886249846 × 6371000     		do = 286.046432643068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68757061--1.68737887) × cos(1.33439503) × R
    0.000191739999999996 × 0.234205537686903 × 6371000     		du = 286.099756170863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33443993)-sin(1.33439503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234161886249846-0.234205537686903)×R²
    abs(-1.68737887--1.68757061)×4.36514370568408e-05×R²
    0.000191739999999996×4.36514370568408e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.36514370568408e-05×40589641000000     		ar = 81833.4686459168m²