Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75828 / 55665
↖ ↑ ↗
← N 26.152973°
E 28.267822°		 ← 274.16 m → N 26.152973°
E 28.270569°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.150507°
E 28.267822°		 ← 274.16 m →
75 159 m²		 N 26.150507°
E 28.270569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578525543212891 y=0.424694061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578525543212891 × 217)
    floor (0.578525543212891 × 131072)
    floor (75828.5)     		tx = 75828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424694061279297 × 217)
    floor (0.424694061279297 × 131072)
    floor (55665.5)     		ty = 55665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75828 / 55665 ti = "17/75828/55665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75828/55665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75828 ÷ 217
    75828 ÷ 131072     		x = 0.578521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55665 ÷ 217
    55665 ÷ 131072     		y = 0.424690246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578521728515625 × 2 - 1) × π
    0.15704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49336657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424690246582031 × 2 - 1) × π
    0.150619506835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.473185136149574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49336657} λ = 0.49336657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473185136149574))-π/2
    2×atan(1.60509851722943)-π/2
    2×1.01362590397562-π/2
    2.02725180795123-1.57079632675     		φ = 0.45645548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49336657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.267822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45645548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.152973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75828 KachelY 55665 0.49336657 0.45645548 28.267822 26.152973
    Oben rechts KachelX + 1 75829 KachelY 55665 0.49341451 0.45645548 28.270569 26.152973
    Unten links KachelX 75828 KachelY + 1 55666 0.49336657 0.45641245 28.267822 26.150507
    Unten rechts KachelX + 1 75829 KachelY + 1 55666 0.49341451 0.45641245 28.270569 26.150507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45645548-0.45641245) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45645548-0.45641245) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49336657-0.49341451) × cos(0.45645548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897620448348089 × 6371000     		do = 274.156389675667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49336657-0.49341451) × cos(0.45641245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897639413817852 × 6371000     		du = 274.162182218304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45645548)-sin(0.45641245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897620448348089-0.897639413817852)×R²
    abs(0.49341451-0.49336657)×1.89654697625441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89654697625441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89654697625441e-05×40589641000000     		ar = 75159.1589390041m²