Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7581 / 5169
↖ ↑ ↗
← N 55.166319°
W 13.425293°		 ← 1 395.59 m → N 55.166319°
W 13.403320°		 →
↑
1 395.76 m
↓
↑
1 395.76 m
↓
N 55.153766°
W 13.425293°		 ← 1 396.03 m →
1 948 215 m²		 N 55.153766°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462738037109375 y=0.315521240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462738037109375 × 214)
    floor (0.462738037109375 × 16384)
    floor (7581.5)     		tx = 7581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315521240234375 × 214)
    floor (0.315521240234375 × 16384)
    floor (5169.5)     		ty = 5169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7581 / 5169 ti = "14/7581/5169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7581/5169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7581 ÷ 214
    7581 ÷ 16384     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5169 ÷ 214
    5169 ÷ 16384     		y = 0.31549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31549072265625 × 2 - 1) × π
    0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15930598041144))-π/2
    2×atan(3.18772016799538)-π/2
    2×1.26681511425305-π/2
    2.53363022850611-1.57079632675     		φ = 0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7581 KachelY 5169 -0.23431557 0.96283390 -13.425293 55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 7582 KachelY 5169 -0.23393207 0.96283390 -13.403320 55.166319
    Unten links KachelX 7581 KachelY + 1 5170 -0.23431557 0.96261482 -13.425293 55.153766
    Unten rechts KachelX + 1 7582 KachelY + 1 5170 -0.23393207 0.96261482 -13.403320 55.153766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96283390-0.96261482) × R
    0.000219080000000038 × 6371000     		dl = 1395.75868000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96283390-0.96261482) × R
    0.000219080000000038 × 6371000     		dr = 1395.75868000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(0.96283390) × R
    0.000383500000000009 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 1395.59134399364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(0.96261482) × R
    0.000383500000000009 × 0.571375989358495 × 6371000     		du = 1396.03067021587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96283390)-sin(0.96261482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571375989358495)×R²
    abs(-0.23393207--0.23431557)×0.000179810128983937×R²
    0.000383500000000009×0.000179810128983937×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179810128983937×40589641000000     		ar = 1948215.33659836m²