Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7581 / 5100
↖ ↑ ↗
← N 56.022948°
W 13.425293°		 ← 1 365.45 m → N 56.022948°
W 13.403320°		 →
↑
1 365.62 m
↓
↑
1 365.62 m
↓
N 56.010667°
W 13.425293°		 ← 1 365.89 m →
1 864 991 m²		 N 56.010667°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462738037109375 y=0.311309814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462738037109375 × 214)
    floor (0.462738037109375 × 16384)
    floor (7581.5)     		tx = 7581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311309814453125 × 214)
    floor (0.311309814453125 × 16384)
    floor (5100.5)     		ty = 5100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7581 / 5100 ti = "14/7581/5100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7581/5100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7581 ÷ 214
    7581 ÷ 16384     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5100 ÷ 214
    5100 ÷ 16384     		y = 0.311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311279296875 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18576714900171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18576714900171))-π/2
    2×atan(3.27319688827046)-π/2
    2×1.27429061371964-π/2
    2.54858122743929-1.57079632675     		φ = 0.97778490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97778490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.022948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7581 KachelY 5100 -0.23431557 0.97778490 -13.425293 56.022948
    Oben rechts KachelX + 1 7582 KachelY 5100 -0.23393207 0.97778490 -13.403320 56.022948
    Unten links KachelX 7581 KachelY + 1 5101 -0.23431557 0.97757055 -13.425293 56.010667
    Unten rechts KachelX + 1 7582 KachelY + 1 5101 -0.23393207 0.97757055 -13.403320 56.010667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97778490-0.97757055) × R
    0.000214349999999919 × 6371000     		dl = 1365.62384999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97778490-0.97757055) × R
    0.000214349999999919 × 6371000     		dr = 1365.62384999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(0.97778490) × R
    0.000383500000000009 × 0.558860813425385 × 6371000     		do = 1365.45260993479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(0.97757055) × R
    0.000383500000000009 × 0.559038552782153 × 6371000     		du = 1365.88687668378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97778490)-sin(0.97757055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558860813425385-0.559038552782153)×R²
    abs(-0.23393207--0.23431557)×0.000177739356768125×R²
    0.000383500000000009×0.000177739356768125×6371000²
    0.000383500000000009×0.000177739356768125×40589641000000     		ar = 1864991.17982665m²