Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7581 / 10557
↖ ↑ ↗
← S 46.027482°
W 13.425293°		 ← 1 696.40 m → S 46.027482°
W 13.403320°		 →
↑
1 696.15 m
↓
↑
1 696.15 m
↓
S 46.042735°
W 13.425293°		 ← 1 695.93 m →
2 876 955 m²		 S 46.042735°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462738037109375 y=0.644378662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462738037109375 × 214)
    floor (0.462738037109375 × 16384)
    floor (7581.5)     		tx = 7581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644378662109375 × 214)
    floor (0.644378662109375 × 16384)
    floor (10557.5)     		ty = 10557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7581 / 10557 ti = "14/7581/10557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7581/10557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7581 ÷ 214
    7581 ÷ 16384     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10557 ÷ 214
    10557 ÷ 16384     		y = 0.64434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.2886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.906966140811462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906966140811462))-π/2
    2×atan(0.403747280201311)-π/2
    2×0.383732611042532-π/2
    0.767465222085064-1.57079632675     		φ = -0.80333110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80333110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.027482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7581 KachelY 10557 -0.23431557 -0.80333110 -13.425293 -46.027482
    Oben rechts KachelX + 1 7582 KachelY 10557 -0.23393207 -0.80333110 -13.403320 -46.027482
    Unten links KachelX 7581 KachelY + 1 10558 -0.23431557 -0.80359733 -13.425293 -46.042735
    Unten rechts KachelX + 1 7582 KachelY + 1 10558 -0.23393207 -0.80359733 -13.403320 -46.042735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80333110--0.80359733) × R
    0.000266230000000034 × 6371000     		dl = 1696.15133000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80333110--0.80359733) × R
    0.000266230000000034 × 6371000     		dr = 1696.15133000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(-0.80333110) × R
    0.000383500000000009 × 0.694313263487598 × 6371000     		do = 1696.40066894412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23393207) × cos(-0.80359733) × R
    0.000383500000000009 × 0.694121640366091 × 6371000     		du = 1695.93248029124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80333110)-sin(-0.80359733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694313263487598-0.694121640366091)×R²
    abs(-0.23393207--0.23431557)×0.000191623121507112×R²
    0.000383500000000009×0.000191623121507112×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191623121507112×40589641000000     		ar = 2876955.20843348m²