Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75802 / 55691
↖ ↑ ↗
← N 26.088855°
E 28.196411°		 ← 274.31 m → N 26.088855°
E 28.199158°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.086388°
E 28.196411°		 ← 274.31 m →
75 253 m²		 N 26.086388°
E 28.199158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578327178955078 y=0.424892425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578327178955078 × 217)
    floor (0.578327178955078 × 131072)
    floor (75802.5)     		tx = 75802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424892425537109 × 217)
    floor (0.424892425537109 × 131072)
    floor (55691.5)     		ty = 55691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75802 / 55691 ti = "17/75802/55691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75802/55691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75802 ÷ 217
    75802 ÷ 131072     		x = 0.578323364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55691 ÷ 217
    55691 ÷ 131072     		y = 0.424888610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578323364257812 × 2 - 1) × π
    0.156646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49212021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424888610839844 × 2 - 1) × π
    0.150222778320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.471938776759453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49212021} λ = 0.49212021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471938776759453))-π/2
    2×atan(1.60309923379206)-π/2
    2×1.01306637157797-π/2
    2.02613274315594-1.57079632675     		φ = 0.45533642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49212021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.196411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45533642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.088855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75802 KachelY 55691 0.49212021 0.45533642 28.196411 26.088855
    Oben rechts KachelX + 1 75803 KachelY 55691 0.49216815 0.45533642 28.199158 26.088855
    Unten links KachelX 75802 KachelY + 1 55692 0.49212021 0.45529336 28.196411 26.086388
    Unten rechts KachelX + 1 75803 KachelY + 1 55692 0.49216815 0.45529336 28.199158 26.086388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45533642-0.45529336) × R
    4.30600000000392e-05 × 6371000     		dl = 274.33526000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45533642-0.45529336) × R
    4.30600000000392e-05 × 6371000     		dr = 274.33526000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49212021-0.49216815) × cos(0.45533642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898113133437859 × 6371000     		do = 274.306868384115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49212021-0.49216815) × cos(0.45529336) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89813206886382 × 6371000     		du = 274.312651750601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45533642)-sin(0.45529336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898113133437859-0.89813206886382)×R²
    abs(0.49216815-0.49212021)×1.89354259607644e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89354259607644e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89354259607644e-05×40589641000000     		ar = 75252.8393602268m²