Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7579 / 1762
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
E153.061523°		 ← 1 587.21 m → N 71.045529°
E153.105469°		 →
↑
1 587.78 m
↓
↑
1 587.78 m
↓
N 71.031250°
E153.061523°		 ← 1 588.37 m →
2 521 063 m²		 N 71.031250°
E153.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92523193359375 y=0.21514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92523193359375 × 213)
    floor (0.92523193359375 × 8192)
    floor (7579.5)     		tx = 7579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21514892578125 × 213)
    floor (0.21514892578125 × 8192)
    floor (1762.5)     		ty = 1762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7579 / 1762 ti = "13/7579/1762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7579/1762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7579 ÷ 213
    7579 ÷ 8192     		x = 0.9251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1762 ÷ 213
    1762 ÷ 8192     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9251708984375 × 2 - 1) × π
    0.850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.67142754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67142754} λ = 2.67142754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67142754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7579 KachelY 1762 2.67142754 1.23997840 153.061523 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 7580 KachelY 1762 2.67219453 1.23997840 153.105469 71.045529
    Unten links KachelX 7579 KachelY + 1 1763 2.67142754 1.23972918 153.061523 71.031250
    Unten rechts KachelX + 1 7580 KachelY + 1 1763 2.67219453 1.23972918 153.105469 71.031250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23972918) × R
    0.000249219999999939 × 6371000     		dl = 1587.78061999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23972918) × R
    0.000249219999999939 × 6371000     		dr = 1587.78061999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67142754-2.67219453) × cos(1.23997840) × R
    0.000766990000000245 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 1587.21469000808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67142754-2.67219453) × cos(1.23972918) × R
    0.000766990000000245 × 0.325052409747532 × 6371000     		du = 1588.36641913016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23972918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.325052409747532)×R²
    abs(2.67219453-2.67142754)×0.000235696450138212×R²
    0.000766990000000245×0.000235696450138212×6371000²
    0.000766990000000245×0.000235696450138212×40589641000000     		ar = 2521063.08421264m²