Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7579 / 10556
↖ ↑ ↗
← S 46.012224°
W 13.469239°		 ← 1 696.87 m → S 46.012224°
W 13.447266°		 →
↑
1 696.60 m
↓
↑
1 696.60 m
↓
S 46.027482°
W 13.469239°		 ← 1 696.40 m →
2 878 506 m²		 S 46.027482°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462615966796875 y=0.644317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462615966796875 × 214)
    floor (0.462615966796875 × 16384)
    floor (7579.5)     		tx = 7579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644317626953125 × 214)
    floor (0.644317626953125 × 16384)
    floor (10556.5)     		ty = 10556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7579 / 10556 ti = "14/7579/10556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7579/10556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7579 ÷ 214
    7579 ÷ 16384     		x = 0.46258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10556 ÷ 214
    10556 ÷ 16384     		y = 0.644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23508256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.28857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.906582645614502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23508256} λ = -0.23508256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906582645614502))-π/2
    2×atan(0.403902145037116)-π/2
    2×0.383865762314614-π/2
    0.767731524629227-1.57079632675     		φ = -0.80306480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23508256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80306480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.012224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7579 KachelY 10556 -0.23508256 -0.80306480 -13.469239 -46.012224
    Oben rechts KachelX + 1 7580 KachelY 10556 -0.23469906 -0.80306480 -13.447266 -46.012224
    Unten links KachelX 7579 KachelY + 1 10557 -0.23508256 -0.80333110 -13.469239 -46.027482
    Unten rechts KachelX + 1 7580 KachelY + 1 10557 -0.23469906 -0.80333110 -13.447266 -46.027482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80306480--0.80333110) × R
    0.000266299999999942 × 6371000     		dl = 1696.59729999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80306480--0.80333110) × R
    0.000266299999999942 × 6371000     		dr = 1696.59729999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23508256--0.23469906) × cos(-0.80306480) × R
    0.000383500000000009 × 0.694504887761444 × 6371000     		do = 1696.86886041249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23508256--0.23469906) × cos(-0.80333110) × R
    0.000383500000000009 × 0.694313263487598 × 6371000     		du = 1696.40066894412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80306480)-sin(-0.80333110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694504887761444-0.694313263487598)×R²
    abs(-0.23469906--0.23508256)×0.000191624273845892×R²
    0.000383500000000009×0.000191624273845892×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191624273845892×40589641000000     		ar = 2878505.97784923m²