Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7578 / 7482
↖ ↑ ↗
← S 81.479293°
E153.017578°		 ← 724.02 m → S 81.479293°
E153.061523°		 →
↑
723.75 m
↓
↑
723.75 m
↓
S 81.485802°
E153.017578°		 ← 723.47 m →
523 805 m²		 S 81.485802°
E153.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92510986328125 y=0.91339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92510986328125 × 213)
    floor (0.92510986328125 × 8192)
    floor (7578.5)     		tx = 7578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91339111328125 × 213)
    floor (0.91339111328125 × 8192)
    floor (7482.5)     		ty = 7482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7578 / 7482 ti = "13/7578/7482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7578/7482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7578 ÷ 213
    7578 ÷ 8192     		x = 0.925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7482 ÷ 213
    7482 ÷ 8192     		y = 0.913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925048828125 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67066055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67066055} λ = 2.67066055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59702947381616))-π/2
    2×atan(0.07449453784389)-π/2
    2×0.0743571939690907-π/2
    0.148714387938181-1.57079632675     		φ = -1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67066055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7578 KachelY 7482 2.67066055 -1.42208194 153.017578 -81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 7579 KachelY 7482 2.67142754 -1.42208194 153.061523 -81.479293
    Unten links KachelX 7578 KachelY + 1 7483 2.67066055 -1.42219554 153.017578 -81.485802
    Unten rechts KachelX + 1 7579 KachelY + 1 7483 2.67142754 -1.42219554 153.061523 -81.485802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42208194--1.42219554) × R
    0.000113599999999936 × 6371000     		dl = 723.745599999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42208194--1.42219554) × R
    0.000113599999999936 × 6371000     		dr = 723.745599999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67066055-2.67142754) × cos(-1.42208194) × R
    0.000766989999999801 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 724.016231215657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67066055-2.67142754) × cos(-1.42219554) × R
    0.000766989999999801 × 0.148054485091179 × 6371000     		du = 723.467247952262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42208194)-sin(-1.42219554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.148054485091179)×R²
    abs(2.67142754-2.67066055)×0.000112347082215081×R²
    0.000766989999999801×0.000112347082215081×6371000²
    0.000766989999999801×0.000112347082215081×40589641000000     		ar = 523804.900122585m²