Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7578 / 3366
↖ ↑ ↗
← N 72.141418°
W 13.491211°		 ← 749.26 m → N 72.141418°
W 13.469239°		 →
↑
749.42 m
↓
↑
749.42 m
↓
N 72.134678°
W 13.491211°		 ← 749.53 m →
561 612 m²		 N 72.134678°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462554931640625 y=0.205474853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462554931640625 × 214)
    floor (0.462554931640625 × 16384)
    floor (7578.5)     		tx = 7578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205474853515625 × 214)
    floor (0.205474853515625 × 16384)
    floor (3366.5)     		ty = 3366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7578 / 3366 ti = "14/7578/3366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7578/3366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7578 ÷ 214
    7578 ÷ 16384     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3366 ÷ 214
    3366 ÷ 16384     		y = 0.2054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2054443359375 × 2 - 1) × π
    0.589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85074782053113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85074782053113))-π/2
    2×atan(6.36457730497705)-π/2
    2×1.41495079766815-π/2
    2.8299015953363-1.57079632675     		φ = 1.25910527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25910527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.141418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7578 KachelY 3366 -0.23546605 1.25910527 -13.491211 72.141418
    Oben rechts KachelX + 1 7579 KachelY 3366 -0.23508256 1.25910527 -13.469239 72.141418
    Unten links KachelX 7578 KachelY + 1 3367 -0.23546605 1.25898764 -13.491211 72.134678
    Unten rechts KachelX + 1 7579 KachelY + 1 3367 -0.23508256 1.25898764 -13.469239 72.134678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25910527-1.25898764) × R
    0.000117630000000091 × 6371000     		dl = 749.420730000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25910527-1.25898764) × R
    0.000117630000000091 × 6371000     		dr = 749.420730000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23508256) × cos(1.25910527) × R
    0.000383490000000014 × 0.306668649646365 × 6371000     		do = 749.257380445355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23508256) × cos(1.25898764) × R
    0.000383490000000014 × 0.306780609680166 × 6371000     		du = 749.530922855826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25910527)-sin(1.25898764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306668649646365-0.306780609680166)×R²
    abs(-0.23508256--0.23546605)×0.000111960033800762×R²
    0.000383490000000014×0.000111960033800762×6371000²
    0.000383490000000014×0.000111960033800762×40589641000000     		ar = 561611.512836462m²