Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75771 / 55507
↖ ↑ ↗
← N 26.541852°
E 28.111267°		 ← 273.18 m → N 26.541852°
E 28.114013°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.539394°
E 28.111267°		 ← 273.19 m →
74 648 m²		 N 26.539394°
E 28.114013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578090667724609 y=0.423488616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578090667724609 × 217)
    floor (0.578090667724609 × 131072)
    floor (75771.5)     		tx = 75771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423488616943359 × 217)
    floor (0.423488616943359 × 131072)
    floor (55507.5)     		ty = 55507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75771 / 55507 ti = "17/75771/55507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75771/55507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75771 ÷ 217
    75771 ÷ 131072     		x = 0.578086853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55507 ÷ 217
    55507 ÷ 131072     		y = 0.423484802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578086853027344 × 2 - 1) × π
    0.156173706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.49063417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423484802246094 × 2 - 1) × π
    0.153030395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.480759166289543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49063417} λ = 0.49063417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480759166289543))-π/2
    2×atan(1.61730173721717)-π/2
    2×1.01701951225591-π/2
    2.03403902451182-1.57079632675     		φ = 0.46324270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49063417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.111267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46324270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.541852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75771 KachelY 55507 0.49063417 0.46324270 28.111267 26.541852
    Oben rechts KachelX + 1 75772 KachelY 55507 0.49068210 0.46324270 28.114013 26.541852
    Unten links KachelX 75771 KachelY + 1 55508 0.49063417 0.46319981 28.111267 26.539394
    Unten rechts KachelX + 1 75772 KachelY + 1 55508 0.49068210 0.46319981 28.114013 26.539394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46324270-0.46319981) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46324270-0.46319981) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49063417-0.49068210) × cos(0.46324270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89460819848382 × 6371000     		do = 273.179375543829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49063417-0.49068210) × cos(0.46319981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		du = 273.185227695244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46324270)-sin(0.46319981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89460819848382-0.894627363117402)×R²
    abs(0.49068210-0.49063417)×1.91646335820916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91646335820916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91646335820916e-05×40589641000000     		ar = 74647.6621982713m²