Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75769 / 56426
↖ ↑ ↗
← N 24.261990°
E 28.105774°		 ← 278.45 m → N 24.261990°
E 28.108520°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.259485°
E 28.105774°		 ← 278.45 m →
77 542 m²		 N 24.259485°
E 28.108520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578075408935547 y=0.430500030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578075408935547 × 217)
    floor (0.578075408935547 × 131072)
    floor (75769.5)     		tx = 75769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430500030517578 × 217)
    floor (0.430500030517578 × 131072)
    floor (56426.5)     		ty = 56426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75769 / 56426 ti = "17/75769/56426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75769/56426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75769 ÷ 217
    75769 ÷ 131072     		x = 0.578071594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56426 ÷ 217
    56426 ÷ 131072     		y = 0.430496215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578071594238281 × 2 - 1) × π
    0.156143188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.49053829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430496215820312 × 2 - 1) × π
    0.139007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.436705155538712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49053829} λ = 0.49053829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436705155538712))-π/2
    2×atan(1.54759970857842)-π/2
    2×0.997123962455689-π/2
    1.99424792491138-1.57079632675     		φ = 0.42345160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49053829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.105774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42345160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.261990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75769 KachelY 56426 0.49053829 0.42345160 28.105774 24.261990
    Oben rechts KachelX + 1 75770 KachelY 56426 0.49058623 0.42345160 28.108520 24.261990
    Unten links KachelX 75769 KachelY + 1 56427 0.49053829 0.42340789 28.105774 24.259485
    Unten rechts KachelX + 1 75770 KachelY + 1 56427 0.49058623 0.42340789 28.108520 24.259485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42345160-0.42340789) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42345160-0.42340789) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49053829-0.49058623) × cos(0.42345160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911676078070522 × 6371000     		do = 278.449340785127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49053829-0.49058623) × cos(0.42340789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911694038059783 × 6371000     		du = 278.454826228137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42345160)-sin(0.42340789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911676078070522-0.911694038059783)×R²
    abs(0.49058623-0.49053829)×1.79599892610183e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79599892610183e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79599892610183e-05×40589641000000     		ar = 77542.3365841841m²