Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75767 / 58504
↖ ↑ ↗
← N 18.958246°
E 28.100281°		 ← 288.86 m → N 18.958246°
E 28.103028°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.955649°
E 28.100281°		 ← 288.86 m →
83 441 m²		 N 18.955649°
E 28.103028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578060150146484 y=0.446353912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578060150146484 × 217)
    floor (0.578060150146484 × 131072)
    floor (75767.5)     		tx = 75767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446353912353516 × 217)
    floor (0.446353912353516 × 131072)
    floor (58504.5)     		ty = 58504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75767 / 58504 ti = "17/75767/58504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75767/58504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75767 ÷ 217
    75767 ÷ 131072     		x = 0.578056335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58504 ÷ 217
    58504 ÷ 131072     		y = 0.44635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578056335449219 × 2 - 1) × π
    0.156112670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.49044242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    0.1072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337092278128235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49044242} λ = 0.49044242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337092278128235))-π/2
    2×atan(1.40086832728149)-π/2
    2×0.950840074185402-π/2
    1.9016801483708-1.57079632675     		φ = 0.33088382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49044242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.100281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33088382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.958246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75767 KachelY 58504 0.49044242 0.33088382 28.100281 18.958246
    Oben rechts KachelX + 1 75768 KachelY 58504 0.49049036 0.33088382 28.103028 18.958246
    Unten links KachelX 75767 KachelY + 1 58505 0.49044242 0.33083848 28.100281 18.955649
    Unten rechts KachelX + 1 75768 KachelY + 1 58505 0.49049036 0.33083848 28.103028 18.955649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33088382-0.33083848) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33088382-0.33083848) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49044242-0.49049036) × cos(0.33088382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.945755578361627 × 6371000     		do = 288.858097380373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49044242-0.49049036) × cos(0.33083848) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.94577030740487 × 6371000     		du = 288.862596009305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33088382)-sin(0.33083848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945755578361627-0.94577030740487)×R²
    abs(0.49049036-0.49044242)×1.47290432429559e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47290432429559e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47290432429559e-05×40589641000000     		ar = 83440.5290613796m²