Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75766 / 55607
↖ ↑ ↗
← N 26.295877°
E 28.097534°		 ← 273.82 m → N 26.295877°
E 28.100281°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.293415°
E 28.097534°		 ← 273.83 m →
74 980 m²		 N 26.293415°
E 28.100281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578052520751953 y=0.424251556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578052520751953 × 217)
    floor (0.578052520751953 × 131072)
    floor (75766.5)     		tx = 75766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424251556396484 × 217)
    floor (0.424251556396484 × 131072)
    floor (55607.5)     		ty = 55607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75766 / 55607 ti = "17/75766/55607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75766/55607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75766 ÷ 217
    75766 ÷ 131072     		x = 0.578048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55607 ÷ 217
    55607 ÷ 131072     		y = 0.424247741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578048706054688 × 2 - 1) × π
    0.156097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49039448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424247741699219 × 2 - 1) × π
    0.151504516601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.475965476327538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49039448} λ = 0.49039448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475965476327538))-π/2
    2×atan(1.60956744681988)-π/2
    2×1.01487298348245-π/2
    2.0297459669649-1.57079632675     		φ = 0.45894964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49039448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.097534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45894964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.295877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75766 KachelY 55607 0.49039448 0.45894964 28.097534 26.295877
    Oben rechts KachelX + 1 75767 KachelY 55607 0.49044242 0.45894964 28.100281 26.295877
    Unten links KachelX 75766 KachelY + 1 55608 0.49039448 0.45890666 28.097534 26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 75767 KachelY + 1 55608 0.49044242 0.45890666 28.100281 26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45894964-0.45890666) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45894964-0.45890666) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49039448-0.49044242) × cos(0.45894964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896518308485755 × 6371000     		do = 273.819767792631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49039448-0.49044242) × cos(0.45890666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 273.825582976316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45894964)-sin(0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896518308485755-0.896537348084991)×R²
    abs(0.49044242-0.49039448)×1.90395992354375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90395992354375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90395992354375e-05×40589641000000     		ar = 74979.6529157362m²