Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75763 / 58489
↖ ↑ ↗
← N 18.997206°
E 28.089294°		 ← 288.79 m → N 18.997206°
E 28.092041°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.994609°
E 28.089294°		 ← 288.80 m →
83 403 m²		 N 18.994609°
E 28.092041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578029632568359 y=0.446239471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578029632568359 × 217)
    floor (0.578029632568359 × 131072)
    floor (75763.5)     		tx = 75763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446239471435547 × 217)
    floor (0.446239471435547 × 131072)
    floor (58489.5)     		ty = 58489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75763 / 58489 ti = "17/75763/58489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75763/58489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75763 ÷ 217
    75763 ÷ 131072     		x = 0.578025817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58489 ÷ 217
    58489 ÷ 131072     		y = 0.446235656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578025817871094 × 2 - 1) × π
    0.156051635742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49025067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446235656738281 × 2 - 1) × π
    0.107528686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.337811331622536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49025067} λ = 0.49025067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337811331622536))-π/2
    2×atan(1.40187598878512)-π/2
    2×0.951180058873026-π/2
    1.90236011774605-1.57079632675     		φ = 0.33156379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49025067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.089294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33156379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.997206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75763 KachelY 58489 0.49025067 0.33156379 28.089294 18.997206
    Oben rechts KachelX + 1 75764 KachelY 58489 0.49029861 0.33156379 28.092041 18.997206
    Unten links KachelX 75763 KachelY + 1 58490 0.49025067 0.33151846 28.089294 18.994609
    Unten rechts KachelX + 1 75764 KachelY + 1 58490 0.49029861 0.33151846 28.092041 18.994609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33156379-0.33151846) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33156379-0.33151846) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49025067-0.49029861) × cos(0.33156379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.945534451743282 × 6371000     		do = 288.790559619331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49025067-0.49029861) × cos(0.33151846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.945549206686046 × 6371000     		du = 288.795066158644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33156379)-sin(0.33151846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945534451743282-0.945549206686046)×R²
    abs(0.49029861-0.49025067)×1.47549427639282e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47549427639282e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47549427639282e-05×40589641000000     		ar = 83402.6221790891m²