Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7576 / 7015
↖ ↑ ↗
← N 25.025884°
W 13.535156°		 ← 2 213.84 m → N 25.025884°
W 13.513184°		 →
↑
2 214.05 m
↓
↑
2 214.05 m
↓
N 25.005973°
W 13.535156°		 ← 2 214.20 m →
4 901 945 m²		 N 25.005973°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462432861328125 y=0.428192138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462432861328125 × 214)
    floor (0.462432861328125 × 16384)
    floor (7576.5)     		tx = 7576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428192138671875 × 214)
    floor (0.428192138671875 × 16384)
    floor (7015.5)     		ty = 7015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7576 / 7015 ti = "14/7576/7015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7576/7015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7576 ÷ 214
    7576 ÷ 16384     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7015 ÷ 214
    7015 ÷ 16384     		y = 0.42816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451373846822449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451373846822449))-π/2
    2×atan(1.57046828694025)-π/2
    2×1.0037902009546-π/2
    2.00758040190921-1.57079632675     		φ = 0.43678408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43678408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.025884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7576 KachelY 7015 -0.23623304 0.43678408 -13.535156 25.025884
    Oben rechts KachelX + 1 7577 KachelY 7015 -0.23584955 0.43678408 -13.513184 25.025884
    Unten links KachelX 7576 KachelY + 1 7016 -0.23623304 0.43643656 -13.535156 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 7577 KachelY + 1 7016 -0.23584955 0.43643656 -13.513184 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43678408-0.43643656) × R
    0.000347520000000046 × 6371000     		dl = 2214.04992000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43678408-0.43643656) × R
    0.000347520000000046 × 6371000     		dr = 2214.04992000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(0.43678408) × R
    0.000383490000000014 × 0.906116769572565 × 6371000     		do = 2213.8378928868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(0.43643656) × R
    0.000383490000000014 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 2214.19693760035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43678408)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906116769572565-0.906263725425577)×R²
    abs(-0.23584955--0.23623304)×0.000146955853011943×R²
    0.000383490000000014×0.000146955853011943×6371000²
    0.000383490000000014×0.000146955853011943×40589641000000     		ar = 4901945.13043341m²