Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7576 / 3289
↖ ↑ ↗
← N 72.653038°
W 13.535156°		 ← 728.46 m → N 72.653038°
W 13.513184°		 →
↑
728.59 m
↓
↑
728.59 m
↓
N 72.646486°
W 13.535156°		 ← 728.73 m →
530 846 m²		 N 72.646486°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462432861328125 y=0.200775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462432861328125 × 214)
    floor (0.462432861328125 × 16384)
    floor (7576.5)     		tx = 7576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200775146484375 × 214)
    floor (0.200775146484375 × 16384)
    floor (3289.5)     		ty = 3289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7576 / 3289 ti = "14/7576/3289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7576/3289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7576 ÷ 214
    7576 ÷ 16384     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3289 ÷ 214
    3289 ÷ 16384     		y = 0.20074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20074462890625 × 2 - 1) × π
    0.5985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.88027695069708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88027695069708))-π/2
    2×atan(6.55532011128671)-π/2
    2×1.41941552886234-π/2
    2.83883105772468-1.57079632675     		φ = 1.26803473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26803473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.653038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7576 KachelY 3289 -0.23623304 1.26803473 -13.535156 72.653038
    Oben rechts KachelX + 1 7577 KachelY 3289 -0.23584955 1.26803473 -13.513184 72.653038
    Unten links KachelX 7576 KachelY + 1 3290 -0.23623304 1.26792037 -13.535156 72.646486
    Unten rechts KachelX + 1 7577 KachelY + 1 3290 -0.23584955 1.26792037 -13.513184 72.646486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26803473-1.26792037) × R
    0.000114360000000202 × 6371000     		dl = 728.587560001287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26803473-1.26792037) × R
    0.000114360000000202 × 6371000     		dr = 728.587560001287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(1.26803473) × R
    0.000383490000000014 × 0.298157330614927 × 6371000     		do = 728.462399905336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(1.26792037) × R
    0.000383490000000014 × 0.298266487199349 × 6371000     		du = 728.729092886822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26803473)-sin(1.26792037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298157330614927-0.298266487199349)×R²
    abs(-0.23584955--0.23623304)×0.000109156584422287×R²
    0.000383490000000014×0.000109156584422287×6371000²
    0.000383490000000014×0.000109156584422287×40589641000000     		ar = 530845.797672491m²