Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7576 / 10521
↖ ↑ ↗
← S 45.475540°
W 13.535156°		 ← 1 713.22 m → S 45.475540°
W 13.513184°		 →
↑
1 712.97 m
↓
↑
1 712.97 m
↓
S 45.490946°
W 13.535156°		 ← 1 712.75 m →
2 934 287 m²		 S 45.490946°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462432861328125 y=0.642181396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462432861328125 × 214)
    floor (0.462432861328125 × 16384)
    floor (7576.5)     		tx = 7576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642181396484375 × 214)
    floor (0.642181396484375 × 16384)
    floor (10521.5)     		ty = 10521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7576 / 10521 ti = "14/7576/10521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7576/10521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7576 ÷ 214
    7576 ÷ 16384     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10521 ÷ 214
    10521 ÷ 16384     		y = 0.64215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.2843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893160313720886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893160313720886))-π/2
    2×atan(0.409360000312921)-π/2
    2×0.388549209975173-π/2
    0.777098419950347-1.57079632675     		φ = -0.79369791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79369791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.475540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7576 KachelY 10521 -0.23623304 -0.79369791 -13.535156 -45.475540
    Oben rechts KachelX + 1 7577 KachelY 10521 -0.23584955 -0.79369791 -13.513184 -45.475540
    Unten links KachelX 7576 KachelY + 1 10522 -0.23623304 -0.79396678 -13.535156 -45.490946
    Unten rechts KachelX + 1 7577 KachelY + 1 10522 -0.23584955 -0.79396678 -13.513184 -45.490946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79369791--0.79396678) × R
    0.000268869999999977 × 6371000     		dl = 1712.97076999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79369791--0.79396678) × R
    0.000268869999999977 × 6371000     		dr = 1712.97076999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(-0.79369791) × R
    0.000383490000000014 × 0.701213686794987 × 6371000     		do = 1713.215650528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23584955) × cos(-0.79396678) × R
    0.000383490000000014 × 0.701021970271482 × 6371000     		du = 1712.74724588229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79369791)-sin(-0.79396678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701213686794987-0.701021970271482)×R²
    abs(-0.23584955--0.23623304)×0.000191716523505026×R²
    0.000383490000000014×0.000191716523505026×6371000²
    0.000383490000000014×0.000191716523505026×40589641000000     		ar = 2934287.16800459m²