Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75758 / 61482
↖ ↑ ↗
← N 11.065212°
E 28.075562°		 ← 299.69 m → N 11.065212°
E 28.078308°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
N 11.062516°
E 28.075562°		 ← 299.69 m →
89 833 m²		 N 11.062516°
E 28.078308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577991485595703 y=0.469074249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577991485595703 × 217)
    floor (0.577991485595703 × 131072)
    floor (75758.5)     		tx = 75758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469074249267578 × 217)
    floor (0.469074249267578 × 131072)
    floor (61482.5)     		ty = 61482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75758 / 61482 ti = "17/75758/61482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75758/61482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75758 ÷ 217
    75758 ÷ 131072     		x = 0.577987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61482 ÷ 217
    61482 ÷ 131072     		y = 0.469070434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577987670898438 × 2 - 1) × π
    0.155975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49001099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469070434570312 × 2 - 1) × π
    0.061859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.194336191059708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49001099} λ = 0.49001099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194336191059708))-π/2
    2×atan(1.21450451989115)-π/2
    2×0.881960353619777-π/2
    1.76392070723955-1.57079632675     		φ = 0.19312438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49001099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.075562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19312438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.065212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75758 KachelY 61482 0.49001099 0.19312438 28.075562 11.065212
    Oben rechts KachelX + 1 75759 KachelY 61482 0.49005892 0.19312438 28.078308 11.065212
    Unten links KachelX 75758 KachelY + 1 61483 0.49001099 0.19307733 28.075562 11.062516
    Unten rechts KachelX + 1 75759 KachelY + 1 61483 0.49005892 0.19307733 28.078308 11.062516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19312438-0.19307733) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19312438-0.19307733) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49001099-0.49005892) × cos(0.19312438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981409376086787 × 6371000     		do = 299.685159343078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49001099-0.49005892) × cos(0.19307733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981418405124577 × 6371000     		du = 299.687916468387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19312438)-sin(0.19307733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981409376086787-0.981418405124577)×R²
    abs(0.49005892-0.49001099)×9.02903778987607e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.02903778987607e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.02903778987607e-06×40589641000000     		ar = 89832.703014142m²