Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75750 / 60962
↖ ↑ ↗
← N 12.463396°
E 28.053589°		 ← 298.23 m → N 12.463396°
E 28.056335°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
N 12.460715°
E 28.053589°		 ← 298.23 m →
88 921 m²		 N 12.460715°
E 28.056335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577930450439453 y=0.465106964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577930450439453 × 217)
    floor (0.577930450439453 × 131072)
    floor (75750.5)     		tx = 75750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465106964111328 × 217)
    floor (0.465106964111328 × 131072)
    floor (60962.5)     		ty = 60962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75750 / 60962 ti = "17/75750/60962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75750/60962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75750 ÷ 217
    75750 ÷ 131072     		x = 0.577926635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60962 ÷ 217
    60962 ÷ 131072     		y = 0.465103149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577926635742188 × 2 - 1) × π
    0.155853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48962749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465103149414062 × 2 - 1) × π
    0.069793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.219263378862137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48962749} λ = 0.48962749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219263378862137))-π/2
    2×atan(1.24515918211252)-π/2
    2×0.89416181574049-π/2
    1.78832363148098-1.57079632675     		φ = 0.21752730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48962749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.053589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21752730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.463396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75750 KachelY 60962 0.48962749 0.21752730 28.053589 12.463396
    Oben rechts KachelX + 1 75751 KachelY 60962 0.48967543 0.21752730 28.056335 12.463396
    Unten links KachelX 75750 KachelY + 1 60963 0.48962749 0.21748050 28.053589 12.460715
    Unten rechts KachelX + 1 75751 KachelY + 1 60963 0.48967543 0.21748050 28.056335 12.460715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21752730-0.21748050) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21752730-0.21748050) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48962749-0.48967543) × cos(0.21752730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976434081733035 × 6371000     		do = 298.228101974682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48962749-0.48967543) × cos(0.21748050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976444180845815 × 6371000     		du = 298.231186503677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21752730)-sin(0.21748050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976434081733035-0.976444180845815)×R²
    abs(0.48967543-0.48962749)×1.00991127802708e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00991127802708e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00991127802708e-05×40589641000000     		ar = 88920.985785631m²