Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7575 / 4130
↖ ↑ ↗
← N 66.213739°
W 13.557129°		 ← 985.44 m → N 66.213739°
W 13.535156°		 →
↑
985.59 m
↓
↑
985.59 m
↓
N 66.204876°
W 13.557129°		 ← 985.78 m →
971 411 m²		 N 66.204876°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462371826171875 y=0.252105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462371826171875 × 214)
    floor (0.462371826171875 × 16384)
    floor (7575.5)     		tx = 7575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252105712890625 × 214)
    floor (0.252105712890625 × 16384)
    floor (4130.5)     		ty = 4130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7575 / 4130 ti = "14/7575/4130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7575/4130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7575 ÷ 214
    7575 ÷ 16384     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4130 ÷ 214
    4130 ÷ 16384     		y = 0.2520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2520751953125 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55775749005334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55775749005334))-π/2
    2×atan(4.74816149792305)-π/2
    2×1.36322204481706-π/2
    2.72644408963412-1.57079632675     		φ = 1.15564776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15564776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.213739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7575 KachelY 4130 -0.23661654 1.15564776 -13.557129 66.213739
    Oben rechts KachelX + 1 7576 KachelY 4130 -0.23623304 1.15564776 -13.535156 66.213739
    Unten links KachelX 7575 KachelY + 1 4131 -0.23661654 1.15549306 -13.557129 66.204876
    Unten rechts KachelX + 1 7576 KachelY + 1 4131 -0.23623304 1.15549306 -13.535156 66.204876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15564776-1.15549306) × R
    0.000154699999999952 × 6371000     		dl = 985.593699999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15564776-1.15549306) × R
    0.000154699999999952 × 6371000     		dr = 985.593699999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23623304) × cos(1.15564776) × R
    0.000383499999999981 × 0.403325881834197 × 6371000     		do = 985.437455578986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23623304) × cos(1.15549306) × R
    0.000383499999999981 × 0.403467436234007 × 6371000     		du = 985.783312400621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15564776)-sin(1.15549306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403325881834197-0.403467436234007)×R²
    abs(-0.23623304--0.23661654)×0.000141554399809563×R²
    0.000383499999999981×0.000141554399809563×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141554399809563×40589641000000     		ar = 971411.387051114m²