Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7575 / 3288
↖ ↑ ↗
← N 72.659588°
W 13.557129°		 ← 728.21 m → N 72.659588°
W 13.535156°		 →
↑
728.33 m
↓
↑
728.33 m
↓
N 72.653038°
W 13.557129°		 ← 728.48 m →
530 480 m²		 N 72.653038°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462371826171875 y=0.200714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462371826171875 × 214)
    floor (0.462371826171875 × 16384)
    floor (7575.5)     		tx = 7575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200714111328125 × 214)
    floor (0.200714111328125 × 16384)
    floor (3288.5)     		ty = 3288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7575 / 3288 ti = "14/7575/3288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7575/3288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7575 ÷ 214
    7575 ÷ 16384     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3288 ÷ 214
    3288 ÷ 16384     		y = 0.20068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88066044589404))-π/2
    2×atan(6.55783452716632)-π/2
    2×1.41947268935165-π/2
    2.8389453787033-1.57079632675     		φ = 1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7575 KachelY 3288 -0.23661654 1.26814905 -13.557129 72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 7576 KachelY 3288 -0.23623304 1.26814905 -13.535156 72.659588
    Unten links KachelX 7575 KachelY + 1 3289 -0.23661654 1.26803473 -13.557129 72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 7576 KachelY + 1 3289 -0.23623304 1.26803473 -13.535156 72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26814905-1.26803473) × R
    0.000114320000000001 × 6371000     		dl = 728.332720000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26814905-1.26803473) × R
    0.000114320000000001 × 6371000     		dr = 728.332720000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23623304) × cos(1.26814905) × R
    0.000383499999999981 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 728.214779335062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23623304) × cos(1.26803473) × R
    0.000383499999999981 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 728.481395508806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26814905)-sin(1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.298157330614927)×R²
    abs(-0.23623304--0.23661654)×0.000109122301753251×R²
    0.000383499999999981×0.000109122301753251×6371000²
    0.000383499999999981×0.000109122301753251×40589641000000     		ar = 530479.744197125m²