Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75749 / 61287
↖ ↑ ↗
← N 11.590360°
E 28.050843°		 ← 299.14 m → N 11.590360°
E 28.053589°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.587669°
E 28.050843°		 ← 299.14 m →
89 496 m²		 N 11.587669°
E 28.053589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577922821044922 y=0.467586517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577922821044922 × 217)
    floor (0.577922821044922 × 131072)
    floor (75749.5)     		tx = 75749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467586517333984 × 217)
    floor (0.467586517333984 × 131072)
    floor (61287.5)     		ty = 61287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75749 / 61287 ti = "17/75749/61287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75749/61287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75749 ÷ 217
    75749 ÷ 131072     		x = 0.577919006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61287 ÷ 217
    61287 ÷ 131072     		y = 0.467582702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577919006347656 × 2 - 1) × π
    0.155838012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48957956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467582702636719 × 2 - 1) × π
    0.0648345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203683886485619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48957956} λ = 0.48957956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203683886485619))-π/2
    2×atan(1.2259105653014)-π/2
    2×0.886543135197159-π/2
    1.77308627039432-1.57079632675     		φ = 0.20228994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48957956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.050843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20228994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.590360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75749 KachelY 61287 0.48957956 0.20228994 28.050843 11.590360
    Oben rechts KachelX + 1 75750 KachelY 61287 0.48962749 0.20228994 28.053589 11.590360
    Unten links KachelX 75749 KachelY + 1 61288 0.48957956 0.20224298 28.050843 11.587669
    Unten rechts KachelX + 1 75750 KachelY + 1 61288 0.48962749 0.20224298 28.053589 11.587669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20228994-0.20224298) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dl = 299.18216000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20228994-0.20224298) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dr = 299.18216000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48957956-0.48962749) × cos(0.20228994) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979609067743698 × 6371000     		do = 299.13541353246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48957956-0.48962749) × cos(0.20224298) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979618501542808 × 6371000     		du = 299.138294256507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20228994)-sin(0.20224298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979609067743698-0.979618501542808)×R²
    abs(0.48962749-0.48957956)×9.43379911033659e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.43379911033659e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.43379911033659e-06×40589641000000     		ar = 89496.4101001865m²