Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75746 / 56097
↖ ↑ ↗
← N 25.083111°
E 28.042603°		 ← 276.56 m → N 25.083111°
E 28.045349°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.080624°
E 28.042603°		 ← 276.57 m →
76 506 m²		 N 25.080624°
E 28.045349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577899932861328 y=0.427989959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577899932861328 × 217)
    floor (0.577899932861328 × 131072)
    floor (75746.5)     		tx = 75746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427989959716797 × 217)
    floor (0.427989959716797 × 131072)
    floor (56097.5)     		ty = 56097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75746 / 56097 ti = "17/75746/56097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75746/56097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75746 ÷ 217
    75746 ÷ 131072     		x = 0.577896118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56097 ÷ 217
    56097 ÷ 131072     		y = 0.427986145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577896118164062 × 2 - 1) × π
    0.155792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48943575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427986145019531 × 2 - 1) × π
    0.144027709960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.45247639551371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48943575} λ = 0.48943575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45247639551371))-π/2
    2×atan(1.5722007595869)-π/2
    2×1.00428960333006-π/2
    2.00857920666012-1.57079632675     		φ = 0.43778288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48943575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.042603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43778288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.083111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75746 KachelY 56097 0.48943575 0.43778288 28.042603 25.083111
    Oben rechts KachelX + 1 75747 KachelY 56097 0.48948368 0.43778288 28.045349 25.083111
    Unten links KachelX 75746 KachelY + 1 56098 0.48943575 0.43773946 28.042603 25.080624
    Unten rechts KachelX + 1 75747 KachelY + 1 56098 0.48948368 0.43773946 28.045349 25.080624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43778288-0.43773946) × R
    4.34199999999607e-05 × 6371000     		dl = 276.62881999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43778288-0.43773946) × R
    4.34199999999607e-05 × 6371000     		dr = 276.62881999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48943575-0.48948368) × cos(0.43778288) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.905693797645796 × 6371000     		do = 276.564496607378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48943575-0.48948368) × cos(0.43773946) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.905712203940183 × 6371000     		du = 276.570117190797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43778288)-sin(0.43773946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905693797645796-0.905712203940183)×R²
    abs(0.48948368-0.48943575)×1.84062943873187e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84062943873187e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84062943873187e-05×40589641000000     		ar = 76506.4877700538m²